专题六 第3讲 样题展示1 求值问题（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

样题展示1　求值问题　 　　　【样题】　(2022·新高考全国Ⅰ卷)已知点A(2,1)在双曲线C:-=1(a>1)上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0。 (1)求l的斜率; (2)若tan∠PAQ=2,求△PAQ的面积。 [命题立意]　本题考查双曲线的标准方程及其几何性质、直线与双曲线的位置关系、三角形面积的计算公式、利用设而不求法求直线的斜率,考查数形结合思想、函数与方程思想,体现了逻辑推理、数学运算等核心素养。 【解】　(1)因为点A(2,1)在双曲线C:-=1(a>1)上,所以-=1,解得a2=2。所以双曲线C的方程为-y2=1。 显然直线l的斜率存在,可设其方程为y=kx+m。联立得方程组 消去y并整理,得(1-2k2)x2-4kmx-2m2-2=0。Δ=16k2m2+4(1-2k2)(2m2+2)=8m2+8-16k2>0。 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=。 由kAP+kAQ=0,得+=0, 即(x2-2)(kx1+m-1)+(x1-2)(kx2+m-1)=0。 根据直线AP、AQ的斜率关系列出方程,为求l的斜率做理论准备 整理,得2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0,即2k·+(m-1-2k)·-4(m-1)=0,即(k+1)(m+2k-1)=0。 化简过程体现运算能力 因为直线l不过点A,所以k=-1。 注意直线l不过点A,否则无法求值 (2)设∠PAQ=2α,0<α<,则tan 2α=2,所以=2,解得tan α=(负值舍去)。 由(1)得k=-1,则x1x2=2m2+2>0, 所以P,Q只能同在双曲线左支或同在右支。 分类讨论 当P,Q同在左支时,tan α即为直线AP或AQ的斜率。设kAP=。因为为双曲线一条渐近线的斜率,所以直线AP与双曲线只有一个交点,不成立。 排除不适合条件的情况 当P,Q同在右支时,tan-α=即为直线AP或AQ的斜率。 设kAP==,则kAQ=-,所以直线AP的方程为y-1=(x-2),即y=x-2+1。联立得方程组 消去y并整理,得3x2-(16-4)x+20-8=0,则xP·2=,解得xP=。所以|xA-xP|=2-=。同理可得|xA-xQ|=。 为应用正弦定理求△PAQ的面积做准备 因为tan 2α=2,0<2α<π,所以sin 2α=, 所以S△PAQ=|AP|·|AQ|·sin 2α=××|xA-xP|××|xA-xQ|×sin 2α=×3××=。 这里可以应用弦长公式求弦长AP与AQ,也可以数形结合通过直角三角形求弦长,进而求出△PAQ的面积 [命题评价]　本题思维量及运算量都较大,考查了学生的逻辑推理能力及运算能力,是高校选拔人才的良好素材,体现了知识的综合性及应用性。求解第(1)问的关键是对几何条件的翻译和转化,即把直线斜率之间的关系转化为坐标间的关系,转化的难点是运算和因式分解;求解第(2)问的关键是借助图形求出直线的斜率和点的横坐标,体现面积转化为长度,长度转化为坐标的处理思路。 　　【样题变式1】　已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为A,右焦点为F ,过点A作斜率为的直线与椭圆C相交于A,B两点,且AB⊥OB,O为坐标原点。 (1)求椭圆的离心率e; (2)若b=1,过点F 作与直线AB平行的直线l,l与椭圆C相交于P,Q两点,求直线OP的斜率与直线OQ的斜率乘积。 解　(1)由已知得|OA|=a,|OB|=,∠BAF =,则B,代入椭圆C的方程得+=1,所以=5,a=b,所以c==2b,故椭圆的离心率e==。 (2)当b=1时,由(1)可得a=,c=2,所以椭圆C的方程为+y2=1。依题意,得直线l为x=y+2,设P(x1,y1),Q(x2,y2)。联立得8y2+4y-1=0,Δ>0恒成立。则y1+y2=-,y1y2=-。所以x1x2=(y1+2)(y2+2)=3y1y2+2(y1+y2)+4=。因此kOP·kOQ==-。 【样题变式2】　如图所示,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点P(2,-1)。 (1)求椭圆C的方程; (2)设Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过P作两条直线分别交椭圆C于A,B两点,直线PQ平分∠APB,且直线AB过点R(-1,0),求四边形PAQB的面积。 解　(1)由离心率e===,得a2=4b2　①,由于点P(2,-1)在椭圆C上,故+=1　②, 联立①②得a2=8,b2=2,所以椭圆C的方程为+=1。 (2)由直线AB过点R(-1,0),可设AB:y=k(x+1),它与椭圆C的方程联立得(4k2+1)x2+8k2x+4k2-8=0,设A(x1,y1),B(x2,y2) ,则③　因为直线PQ平分∠APB,所以kAP+kBP=0,