专题六 第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

第2讲　圆锥曲线的定义、方程与性质 命|题|分|析 　　圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容。以选择题、填空题的形式考查,常出现在第4~11或15,16题的位置,着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程,难度中等。 考点整合真题感悟 [核心提炼] 　　1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆:|MF 1|+|MF 2|=2a(2a>|F 1F 2|); (2)双曲线:||MF 1|-|MF 2||=2a(2a<|F 1F 2|); (3)抛物线:|MF |=d(d为M点到准线的距离)。 2.圆锥曲线的重要性质 (1)椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系。 ①在椭圆中:a2=b2+c2,离心率为e==; ②在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为e==。 (2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标。 ①双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,焦点坐标为F 1(-c,0),F 2(c,0); ②双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,焦点坐标为F 1(0,-c),F 2(0,c)。 (3)抛物线的焦点坐标与准线方程。 ①抛物线y2=±2px(p>0)的焦点坐标为±,0,准线方程为x=∓; ②抛物线x2=±2py(p>0)的焦点坐标为0,±,准线方程为y=∓。 3.弦长问题 (1)弦长公式。 设直线斜率为k,直线与圆锥曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)时, |AB|=|x1-x2| = 或|AB|=|y1-y2| =。 (2)过抛物线焦点的弦长。 过抛物线y2=2px(p>0)焦点F 的弦AB,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=,y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p。 4.记住以下结论 (1)与椭圆有关的结论。 对于+=1(a>b>0),如图。 则:①=c|y0|=b2tan; ②|PF 1|·|PF 2|≤a2; ③a-c≤|PF 1|≤a+c; ④过点P(x0,y0)的切线方程为+=1; ⑤通径长为。 (2)双曲线中的几个常用结论。 ①焦点到渐近线的距离为b; ②实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线; ③双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e=⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系); ④过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长(通径)为; ⑤过双曲线焦点F 1的弦AB与双曲线交在同支上,则AB与另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为4a+2|AB|。 (3)与抛物线有关的结论。 设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F 的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则 ①弦长|AB|=(α为弦AB的倾斜角); ②+=; ③以弦AB为直径的圆与准线相切; ④通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p,通径是过焦点最短的弦。 [真题体验] 1.(2022·全国甲卷)椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称。若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为(A) A. B. C. D. 解析　设P(x1,y1),则点Q的坐标为(-x1,y1)。由题意,得点A(-a,0)。又直线AP,AQ的斜率之积为,所以·=,即=　①。又点P在椭圆C上,所以+=1　②。由①②,得=,所以a2=4b2,所以a2=4(a2-c2),所以椭圆C的离心率e==。故选A。 2.(2022·全国乙卷)设F 为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0)。若|AF |=|BF |,则|AB|=(B) A.2 B.2 C.3 D.3 解析　由已知条件,易知抛物线y2=4x的焦点为F (1,0),准线方程为x=-1。又B(3,0),则|AF |=|BF |=2。不妨设点A在第一象限,则A(x0,2)。根据抛物线的定义可得x0-(-1)=2,所以x0=1,所以A(1,2),所以|AB|==2。故选B。 3.(2021·全国甲卷)已知F 1,F 2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F 1PF 2=60°,|PF 1|=3|PF 2|,则C的离心率为(A) A. B. C. D. 解析　设|PF 2|=m,|PF 1|=3m,则|F 1F 2|==m,所以C的离心率e=====。故选A。 4.(2021·全国乙卷)设B是椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是(C) A.,1 B.,1 C.0, D.0, 解析　依题意,B(0,b),设P(acos θ,bsin θ),θ∈[0,2π),因为|PB|≤2b,所以对任意θ∈[0,2π),(acos θ)2+(bsin θ-b)2≤4b2恒成立,即(a2-b2)sin2θ+2b2sin θ+3b2-a2≥0对任意θ∈[0,2π)恒成立。令sin θ=t,t∈