专题六 第1讲 直线与圆（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

第1讲　直线与圆 命|题|分|析 　　1.圆的方程近两年为高考全国卷命题的热点,需重点关注。此类试题难度中等偏下,多以选择题或填空题形式呈现。 2.直线与圆的方程偶尔单独命题,单独命题时有一定的深度,对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上。 考点整合真题感悟 [核心提炼] 　　1.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1k2=-1。若给出的直线方程中存在字母系数,则要考虑斜率是否存在。 2.两个距离公式 (1)两平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0间的距离d=。 (2)点(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=。 3.圆的方程 (1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心为(a,b),半径为r。 (2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F =0(D2+E2-4F >0),圆心为-,-,半径为r=。 4.直线与圆的位置关系的判定 (1)几何法:把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较:d<r⇔相交;d=r⇔相切;d>r⇔相离。 (2)代数法:将圆的方程和直线的方程联立组成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系:Δ>0⇔相交;Δ=0⇔相切;Δ<0⇔相离。 [真题体验] 1.(2022·北京卷)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=(A) A. B.- C.1 D.-1 解析　因为直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,所以直线2x+y-1=0经过圆心。由圆的标准方程,知圆心坐标为(a,0),所以2a+0-1=0,解得a=。故选A。 2.(2021·北京卷)已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=kx+m,则当k的值发生变化时,直线被圆C所截的弦长的最小值为2,则m的取值为(C) A.±2 B.± C.± D.±3 解析　因为直线l截得圆C弦长的最小值为2,所以圆心C(0,0)到直线l的最大距离dmax===。由题意得直线l的方程为kx-y+m=0,圆心C(0,0)到直线l的距离d=,当k=0时,d取得最大值,所以dmax=|m|=,解得m=±。故选C。 3.(2020·全国Ⅲ卷)在平面内,A,B是两个定点,C是动点。若·=1,则点C的轨迹为(A) A.圆 B.椭圆 C.抛物线 　D.直线 解析　以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,设A(-a,0),B(a,0),C(x,y),因为·=1,所以(x+a)(x-a)+y·y=1,所以x2+y2=a2+1,所以点C的轨迹为圆。故选A。 4.(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为(B) A. B. C.　 D. 解析　因为圆与两坐标轴都相切,点(2,1)在该圆上,所以可设该圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=a2(a>0),所以(2-a)2+(1-a)2=a2,即a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),所以圆心到直线2x-y-3=0的距离为=或=。故选B。 5.(2022·新高考全国Ⅱ卷)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是 , 。  解析　因为kAB=,所以直线AB关于直线y=a对称的直线方程为(3-a)x-2y+2a=0。由题意可知圆心为(-3,-2),且圆心到对称直线的距离小于或等于1,所以≤1。整理,得6a2-11a+3≤0,解得≤a≤。 热点聚焦考向突破 考向一 直线方程 　　【例1】　(1)“a=-3”是“直线l1:ax-(a+1)y+1=0与直线l2:2x-ay-1=0垂直”的(A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由直线l1:ax-(a+1)y+1=0与直线l2:2x-ay-1=0垂直,可得2a+a(a+1)=0,解得a=0或a=-3,所以“a=-3”是“直线l1:ax-(a+1)y+1=0与直线l2:2x-ay-1=0垂直”的充分不必要条件。 (2)过点(1,3)且平行于直线x+2y+3=0的直线方程为 x+2y-7=0 。  解析　设与直线x+2y+3=0平行的直线方程为x+2y+c=0,把点(1,3)代入可得1+2×3+c=0,c=-7,故所求的直线方程为x+2y-7=0。 (3)直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程为 x-2y=0 。  解析　由解得直线l1与l的交点坐标为(-2,-1),所以可设直线l2的方程为y+1=k(x+2),即k