解答题特训(四) 概率与统计（专题微练Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

解答题特训(四)　概率与统计 1.任何一种疫苗都有一定的副作用,这跟个人的体质有关系,有的人会出现副作用,而有的人不会出现副作用。为了了解接种某种疫苗后是否会出现疲乏症状的副作用,某组织随机抽取了某地200人进行调查,得到统计数据如下: 无疲乏症状 有疲乏症状 总计 未接种疫苗 100 20 120 接种疫苗 x y n 总计 160 m 200 (1)求2×2列联表中的数据x,y,m,n的值,并确定能否有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关; (2)从接种此种疫苗的n人中按是否有疲乏症状,采用分层抽样的方法抽出8人,再从8人中随机抽取3人做进一步调查。若初始总分为10分,抽到的3人中,每有一人有疲乏症状减1分,每有一人没有疲乏症状加2分,设得分结果总和为X,求X的分布列和数学期望。 附:K2=,n=a+b+c+d。 P(K2≥k0) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 解　(1)由题意得m=200-160=40,y=m-20=20,x=160-100=60,n=x+y=60+20=80,由2×2列联表可知,K2的观测值k==≈2.083>2.072,所以有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关。 (2)从接种此种疫苗的n人中按是否有疲乏症状,采用分层抽样的方法抽出8人,可知8人中无疲乏症状的有6人,有疲乏症状的有2人,再从8人中随机抽取3人,当这3人中恰有2人有疲乏症状时,X=10;当这3人中恰有1人有疲乏症状时,X=13;当这3人中没有人有疲乏症状时,X=16。则P(X=10)==,P(X=13)==,P(X=16)==。所以X的分布列为 X 10 13 16 P 所以E(X)=10×+13×+16×=。 2.(2022·武汉调研考试)迎接冬季奥运会期间,某市对全体高中学生举行了一次关于冬季奥运会相关知识的测试。统计人员从全市高中学生中随机抽取200名学生的成绩(单位:分,满分为100分)作为样本进行统计,统计后发现所有学生的成绩都在区间[40,100]内,并制成如下所示的频率分布直方图。 (1)估计这200名学生的平均成绩; (2)用样本频率估计总体,从全市高中学生中随机抽取2名学生,记成绩在区间[80,100]内的人数为X,成绩在区间[70,100]内的人数为Y,记Z=X+Y,比较E(X)+E(Y)与E(Z)的大小关系。 解　(1)这200名学生的平均成绩约为10×(45×0.005+55×0.02+65×0.025+75×0.03+85×0.015+95×0.005)=69.5(分)。 (2)成绩在区间[80,100]内的概率为10×(0.015+0.005)=,故X~B2,。成绩在区间[70,100]内的概率为10×(0.03+0.015+0.005)=,故Y~B2,。所以E(X)+E(Y)=2×+2×=。由题意得,Z的可能取值为0,1,2,3,4,且X≤Y。P(Z=0)=P(X=0,Y=0)=1-2=;P(Z=1)=P(X=0,Y=1)=×-×1-=;P(Z=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=-2+×1-×=;P(Z=3)=P(X=1,Y=2)=××-=;P(Z=4)=P(X=2,Y=2)=2=。所以E(Z)=0×+1×+2×+3×+4×=。故有E(X)+E(Y)=E(Z)。 3.(2022·甘肃诊断考试)2021年国庆节过后某省遭遇疫情,某行业主管部门为了了解本行业中的小企业在疫情后的恢复生产情况,随机调查了150个企业,得到这些企业第四季度相对于去年同期产值增长率的频数分布表如下: 增长率 [-0.4, -0.2) [-0.2, 0) [0, 0.2) [0.2, 0.4) [0.4, 0.6] 企业数 15 30 50 38 17 (1)根据上述增长率的频数分布表,估计这些企业中产值负增长的企业比例(用百分数表示);估计这150个企业同期产值增长率的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表); (2)某调研部门要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业进行调查研究,若被调查的企业同期产值增长率y∈[-0.4,-0.2),则调研价值为1;若被调查的企业同期产值增长率y∈[-0.2,0),则调研价值为2;若被调查的企业同期产值增长率y∈[0,0.6],则调研价值为3。以表中对应各组的频率为概率,设选取的两个企业的调研价值之和为X,求X的分布列及数学期望。 解　(1)估计这些企业中产值负增长的企业比例为=30%。估计这150个企业同期产值增长率的平均数为×(-0.3×15-0.1×30+