增分专练(十) 随机变量及其分布（专题微练Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

增分专练(十)　随机变量及其分布 A级　基础达标 一、选择题 1.“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称,又称“四子书”,在世界文化史、思想史上地位极高,所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值。为弘扬中国优秀传统文化,某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动。某班有4位同学参赛,每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备,且各自选取的书均不相同。比赛时,若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读,则抽到自己准备的书的人数的均值为(B) A. B.1 C. D.2 解析　记抽到自己准备的书的学生数为X,则X可能取值为0,1,2,4,P(X=0)===,P(X=1)===,P(X=2)===,P(X=4)==,则E(X)=0×+1×+2×+4×=1。 2.设随机变量X,Y满足Y=3X-1,X~B(2,p),若P(X≥1)=,则D(Y)等于(A) A.4 B.5 C.6 D.7 解析　由题意可得,P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2=,解得p=,则D(X)=np(1-p)=2××=,D(Y)=32D(X)=4。 3.若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论不正确的是(D) A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4 C.D(3X+2)=2 D.D(X)= 解析　因为随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,所以P(X=1)=,E(X)=0×+1×=,D(X)=0-2×+1-2×=。在A中,P(X=1)=E(X),故A正确;在B中,E(3X+2)=3E(X)+2=3×+2=4,故B正确;在C中,D(3X+2)=9D(X)=9×=2,故C正确;在D中,D(X)=,故D错误。 4.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外。据统计,烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位:mm)服从正态分布N(80,52),则直径在(75,90]内的概率为(附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 5)(C) A.0.682 6 B.0.841 3 C.0.818 6 D.0.954 4 解析　烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位:mm)服从正态分布N(80,52),所以μ=80,σ=5。所求概率P(75<X≤90)=P(70<X≤90)-P(70<X≤75)=P(μ-2σ<X≤μ+2σ)-[P(μ-2σ<X≤μ+2σ)-P(μ-σ<X≤μ+σ)]=[P(μ-2σ<X≤μ+2σ)+P(μ-σ<X≤μ+σ)]=×(0.954 5+0.682 7)=0.818 6。 5.已知0<k<1,0<x<1,随机变量X的分布列如下: X 0 2x 4 P k 当E(x)取最大值时,D(X)等于(A) A.1 B. C.3 D.9- 解析　根据随机变量分布列的性质,得k++=1,所以k=,所以E(X)=0×+2x×+4×=x+≤2=,当且仅当x=时取等号,此时随机变量X的分布列为 X 0 2 P 所以D(X)=(-0)2×+(-)2×+(-2)2×=1。 6.(2022·南京、盐城模拟)泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布,由法国数学家泊松首次提出。泊松分布的概率分布列为P(X=k)=e-λ(k=0,1,2,…),其中e为自然对数的底数,λ是泊松分布的均值。已知某种商品每周销售的件数相互独立,且服从参数为λ(λ>0)的泊松分布。若每周销售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等,则两周共销售2件该商品的概率为(D) A. B. C. D. 解析　由题意,知P(X=1)=P(X=2),即×e-λ=×e-λ,解得λ=2,所以P(X=k)=e-2,所以两周共销售2件该商品的概率为2P(X=0)×P(X=2)+P(X=1)×P(X=1)=2e-2×e-2+e-2×e-2=。故选D。 二、填空题 7.(2022·曲靖模拟)已知随机变量ξ的分布列为 ξ -2 -1 0 1 2 3 P 若P(ξ2<x)=,则实数x的取值范围是 (4,9] 。  解析　由随机变量ξ的分布列知,ξ2的所有可能取值为0,1,4,9,且P(ξ2=0)=,P(ξ2=1)=+=,P(ξ2=4)=+=,P(ξ2=9)=,因为P(ξ2<x)=,所以实数x的取值范围是4<x≤9。 8.已知随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2),P(ξ≤6)=0.84,则P(ξ≤0)= 0.16 。  解析　因为随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2),所以P(ξ≤0)=P(ξ≥6),又P(ξ≤6)=0.84,所