专题五 第2讲 随机变量及其分布（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

第2讲　随机变量及其分布 命|题|分|析 　　随机变量及其分布主要以解答题形式出现。一般以现实生活中的真实情境为背景,考查离散型随机变量的分布列、期望与方差。题目阅读量大,与实际生活密切联系,难度中等,有时也与函数、数列等知识综合命题。 考点整合真题感悟 [核心提炼] 　　1.数学期望与方差 (1)称D(X)=(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,其算术平方根为随机变量X的标准差。 (2)均值与方差的性质: ①E(aX+b)=aE(X)+b(a,b为常数); ②D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数) 2.三种特殊分布 (1)二项分布 在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=pk·(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p)。 (2)超几何分布 在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*。此时称随机变量X服从超几何分布。超几何分布的模型是不放回抽样。 (3)正态分布 ①正态分布的定义及表示: 如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a<X≤b)=φμ,σ(x)dx(即x=a,x=b,正态曲线及x轴围成的曲边梯形的面积),则称随机变量X服从正态分布,记作X~N(μ,σ2)。 ②正态分布的三个常用数据: P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 7, P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 5, P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 3。 3.常见方法结论 (1)如果X~N(μ,σ2),那么E(X)=μ,D(X)=σ2。 (2)如果X~B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p)。 (3)如果X服从超几何分布H(N,M,n),那么E(X)=,D(X)=。 (4)如果X~N(μ,σ2),一定要注意准确应用3σ原则。 [真题体验] 1.(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)= 0.14 。  解析　由题意可知P(X>2)=0.5,所以P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14。 2.(2022·浙江卷)现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6。从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)=  ,E(ξ)=  。  解析　抽取卡片上数字的最小值为2,可分为两种情况:第一种,数字为2的卡片抽1张,再从数字为3,4,5,6的卡片中抽取2张;第二种,数字为2的卡片抽2张,再从数字为3,4,5,6的卡片中抽取1张。所以P(ξ=2)===。由题意,得P(ξ=1)==,P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,所以E(ξ)=1×+2×+3×+4×=。 热点聚焦考向突破 考向一 离散型随机变量的均值与方差 　　【例1】　(2022·济南市模拟)第56届世界乒乓球团体锦标赛将于2022年在中国成都举办,国球运动又一次掀起热潮。现有甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采用7局4胜制,每局为11分制,每赢一球得1分。 (1)已知某局比赛中双方比分为8∶8,此时甲先连续发球2次,然后乙连续发球2次,甲发球时甲得分的概率为,乙发球时乙得分的概率为,各球的结果相互独立,求该局比赛甲以11∶9获胜的概率; (2)已知在某场比赛中,前两局甲获胜,在后续比赛中,每局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,且每局比赛的结果相互独立。两人又进行了X局比赛后比赛结束,求X的分布列与数学期望。 解　(1)设事件A=“该局比赛甲以11∶9获胜”,则P(A)=2××××+×××=。 (2)随机变量X的所有可能取值为2,3,4,5,则P(X=2)=×=,P(X=3)=×××=,P(X=4)=4+××2×=,P(X=5)=××3=,所以随机变量X的分布列为 X 2 3 4 5 P 所以E(X)=2×+3×+4×+5×=。 求随机变量X的均值与方差的方法及步骤:(1)理解随机变量X的意义,写出X可能的全部取值;(2)求X取每个值对应的概率,写出随机变量X的分布列;(3)由均值和方差的计算公式,求得均值E(X),方差D(X)。 　　【变式训练】　(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局。三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军。已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4