专题五 第1讲 概率（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

第1讲　概率 命|题|分|析 　　1.随机事件、古典概型的考查多以选择或填空的形式命题,中低档难度; 2.概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等各种题型。 考点整合真题感悟 [核心提炼] 　　1.古典概型的计算公式 P(A)=。 2.相互独立事件与概率 若事件A,B相互独立,则P(AB)=P(A)·P(B)。 3.条件概率 (1)条件概率的定义 设A,B是两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率。 注意:公式P(B|A)=既是条件概率的定义,也是条件概率的计算公式。 (2)条件概率的性质 ①0≤P(B|A)≤1; ②如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A); ③若A,B相互独立,则P(B|A)=P(B)。 4.独立重复试验 如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n。用X表示事件A在n次独立重复试验中发生的次数,则X服从二项分布,即X~B(n,p)且P(X=k)=pk(1-p)n-k。 [真题体验] 1.(2022·新高考全国Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为(D) A. B. C. D. 解析　从2,3,4,5,6,7,8中随机取2个不同的数有=21(种)结果,其中这2个数互质的结果有(2,3),(2,5),(2,7),(3,4),(3,5),(3,7),(3,8),(4,5), (4,7),(5,6),(5,7),(5,8),(6,7),(7,8),共14种,所以所求概率为=。故选D。 2.(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为(C) A. B. C. D. 解析　(将4个1和2个0视为完全不同的元素):4个1分别设为1A,1B,1C,1D,2个0分别设为0A,0B,将4个1和2个0随机排成一行有种排法,将1A,1B,1C,1D排成一行有种排法,再将0A,0B插空有种排法,所以2个0不相邻的概率P==。 3.(2021·全国乙卷)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于的概率为(B) A. B. C. D. 解析　在区间(0,1)中随机取一个数,记为x,在区间(1,2)中随机取一个数,记为y,两数之和大于,即x+y>,则在如图所示的平面直角坐标系中,点(x,y)构成的区域是边长为1的正方形区域(不含边界),事件A“两数之和大于”即x+y>中,点(x,y)构成的区域为图中阴影部分(不含边界),由几何概型的概率计算公式得P(A)==。故选B。 4.(2021·新高考全国Ⅰ卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球。甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则(B) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 解析　事件甲发生的概率P(甲)=,事件乙发生的概率P(乙)=,事件丙发生的概率P(丙)==,事件丁发生的概率P(丁)==。事件甲与事件丙同时发生的概率为0,P(甲丙)≠P(甲)P(丙),故A错误;事件甲与事件丁同时发生的概率为=,P(甲丁)=P(甲)P(丁),故B正确;事件乙与事件丙同时发生的概率为=,P(乙丙)≠P(乙)P(丙),故C错误;事件丙与事件丁是互斥事件,不是相互独立事件,故D错误。故选B。 5.(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为  。  解析　从5名同学中随机选3名参加社区服务工作,共有=10(种)选法,甲、乙都入选有=3(种)选法。根据古典概型的概率计算公式,甲、乙都入选的概率p=。 6.(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为  。  解析　从正方体的8个顶点中任选4个,所有的取法有=70(种),4个点共面的取法共有12种(表面有6个正方形,对角线可构成6个长方形,所以共有12种),所以4个点在同一个平面的概率为=。 热点聚焦考向突破 考向一 古典概型与几何概型 　　【例1】　(1)(2022·山东泰安肥城三模)已知大于3的素数只分布在{6n-1}和{6n+1}两数列中(其中n为非零自然数)。数列{6n-1}中的合数叫阴性合数,其中的素数叫阴性素数;数列{6n+1}中的合数叫阳性合数,其中的素数叫阳性素数。则从30以内的素数中任意取出两个,恰好是一个阴性素数、一个阳性素数的概率是  。  解析　30以