专题四 第2讲 空间点、线、面的位置关系（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

第2讲　空间点、线、面的位置关系 命|题|分|析 　　1.以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理,对命题的真假进行判断,属基础题。 2.空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容,多出现在立体几何解答题中的第(1)问。 考点整合真题感悟 [核心提炼] 　　1.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理:a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α。 (2)线面平行的性质定理:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b。 (3)面面平行的判定定理:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒α∥β。 (4)面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b。 2.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理:m⊂α,n⊂α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n⇒l⊥α。 (2)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α⇒a∥b。 (3)面面垂直的判定定理:a⊂β,a⊥α⇒α⊥β。 (4)面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β。 [真题体验] 1.(2022·全国甲卷)在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°,则(D) A.AB=2AD B.AB与平面AB1C1D所成的角为30° C.AC=CB1 D.B1D与平面BB1C1C所成的角为45° 解析　如图,连接BD,则∠B1DB,∠DB1A分别是B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角,所以∠B1DB=∠DB1A=30°。所以BB1=DB1,BD=DB1,AD=DB1。设BB1=a,则DB1=2a,AD=BC=a,BD=a,所以AB==a,AC=BD=a,CB1==a。所以AB=AD,AC≠CB1,因此A,C项错误。易知∠DB1C是B1D与平面BB1C1C所成的角,且为锐角。因为DC⊥平面BCC1B1,所以在Rt△DCB1中,sin∠DB1C==,所以∠DB1C=45°,即B1D与平面BB1C1C所成的角为45°,因此D项正确。因为AD⊥平面ABB1A1,AD⊂平面AB1C1D,所以平面AB1C1D⊥平面ABB1A1,所以∠B1AB是AB与平面AB1C1D所成的角。在Rt△ABB1中,AB=a,BB1=a,所以tan∠B1AB==≠,所以∠B1AB≠30°,即AB与平面AB1C1D所成的角不是30°,因此B项错误。故选D。 2.(2022·全国乙卷)在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F 分别为AB,BC的中点,则(A) A.平面B1EF ⊥平面BDD1 B.平面B1EF ⊥平面A1BD C.平面B1EF ∥平面A1AC D.平面B1EF ∥平面A1C1D 解析　如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,易知BD⊥AC。又E,F 分别为AB,BC的中点,所以EF ∥AC,所以BD⊥EF 。由正方体的性质,知DD1⊥平面ABCD。又EF ⊂平面ABCD,所以DD1⊥EF 。因为BD∩DD1=D,所以EF ⊥平面BDD1。因为EF ⊂平面B1EF ,所以平面B1EF ⊥平面BDD1,A正确。假设平面B1EF ⊥平面A1BD。因为平面B1EF ⊥平面BDD1,且平面A1BD∩平面BDD1=BD,所以BD⊥平面B1EF 。在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,显然BD与平面B1EF 不垂直,B错误。设A1A与B1E的延长线相交于点P,则平面B1EF 与平面A1AC不平行,C错误。连接AB1,B1C,易证平面ACB1∥平面A1C1D。因为平面ACB1与平面B1EF 相交,所以平面B1EF 与平面A1C1D不可能平行,D错误。故选A。 3.(2021·天津卷)两个圆锥的底面是一个球的同一截面,顶点均在球面上,若球的体积为,两个圆锥的高之比为1∶3,则这两个圆锥的体积之和为(B) A.3π B.4π C.9π D.12π 解析　如图所示,设两个圆锥的底面圆圆心为点D,设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3∶1,即AD=3BD,设球的半径为R,则=,可得R=2,所以AB=AD+BD=4BD=4,所以BD=1,AD=3。因为AC⊥BC,CD⊥AB,所以CD==。因此,这两个圆锥的体积之和为π×CD2·(AD+BD)=π×3×4=4π。故选B。 4.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°,以D1为球心,为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为  。  解析　如图,连接B1D1,易知△B1C1D1为正三角形,所以B1D1=C1D1=2。分别取B1C1,BB1,CC1的中点M,G,H,连接D1M,D1G,D1H,则易得D1G=D1H==,D1M ⊥B1C1,D1M⊥平面BCC1B1,且D1M=。由题意知G,H分别是BB1,CC1与球