专题四 第1讲 空间几何体的三视图、表面积和体积（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

第1讲　空间几何体的三视图、表面积和体积 命|题|分|析 　　立体几何问题既是高考的必考点,也是考查的难点,其在高考中的命题形式较为稳定,保持“一小一大”或“两小一大”的格局,多以选择题或者填空题的形式考查空间几何体三视图的识别,空间几何体的体积或表面积的计算。 考点整合 真题感悟 [核心提炼] 　　1.空间几何体的三视图 (1)几何体的摆放位置不同,其三视图也不同,需要注意长对正、高平齐、宽相等。 (2)由三视图还原几何体:一般先由俯视图确定底面,再利用正视图与侧视图确定几何体。 2.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体和球的表面积公式: ①圆柱的表面积S=2πr(r+l); ②圆锥的表面积S=πr(r+l); ③圆台的表面积S=π(r'2+r2+r'l+rl); ④球的表面积S=4πR2。 (2)柱体、锥体、台体和球的体积公式: ①V柱体=Sh(S为底面面积,h为高); ②V锥体=Sh(S为底面面积,h为高); ③V台体=(S上+S下+)h(S上,S下分别为上、下底面面积,h为高); ④V球=πR3。 3.球的简单组合体中几何体度量之间的关系,如棱长为a的正方体的外接球、内切球、棱切球的半径分别为a,,a。 [真题体验] 1.(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3和4,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(A) A.100π B.128π C.144π D.192π 解析　设正三棱台上底面A1B1C1、下底面ABC的外接圆半径分别为r1,r2,外接圆圆心分别为O1,O2,三棱台的外接球半径为R,球心为O。令|OO1|=t,则|OO2|=|t-1|。由题意及正弦定理,得2r1==6,2r2==8,所以r1=3,r2=4,所以R2=+t2=+(t-1)2,即R2=9+t2=16+(t-1)2,解得所以正三棱台外接球的表面积为4πR2=100π。故选A。 2.(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙。=2,则=(C) A. B.2 C. D. 解析　设甲、乙两个圆锥的母线长都为l,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2。因为两圆锥的侧面展开图的圆心角之和为2π,所以+=2π,则r1+r2=l。又=2,所以πr1l=2πr2l,所以r1=2r2,所以r1=l,r2=l,所以h1==l,h2==l,所以===。故选C。 3.(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为(B) A.2 B.2 C.4 D.4 解析　设圆锥的母线长为l,因为该圆锥的底面半径为,所以2π×=πl,解得l=2。故选B。 4.(2021·全国甲卷)已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O⁃ABC的体积为(A) A. B. C. D. 解析　如图所示,因为AC⊥BC,AC=BC=1,所以AB为截面圆O1的直径,且AB=。连接OO1,则OO1⊥平面ABC,OO1===,所以三棱锥O⁃ABC的体积V= S△ABC×OO1=××1×1×=。 5.(2021·新高考全国Ⅱ卷)北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果。在卫星导航系统中,地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为36 000 km(轨道高度是指卫星到地球表面的最短距离),把地球看成一个球心为O,半径r为6 400 km的球,其上点A的纬度是指OA与赤道所在平面所成角的度数,地球表面能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为α,该卫星信号覆盖的地球表面面积S=2πr2(1-cos α)(单位:km2),则S占地球表面积的百分比约为(C) A.26% B.34% C.42% D.50% 解析　如图,作出过地球静止同步轨道卫星轨道左右端点的竖直截面,则OB=36 000+6 400=42 400 km,cos α==,S占地球表面积的百分比为=≈42%。故选C。 热点聚焦考向突破 考向一 空间几何体的三视图 　　【例1】　(1)(2022·全国甲卷)如图,网格纸上绘制的是一个多面体的三视图,网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为(B) A.8 B.12 C.16 D.20 解析　如图,将三视图还原成直观图。该直观图是一个侧放的直四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1,底面ABCD是直角梯形,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=2,AB=4,AA1=2。所以底面面积S==6,设该直四棱柱的高为h,则该几何体的体积V=Sh=6×2=12。故选B。 (2)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(B)