专题三 第2讲 数列求和及数列的综合应用（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

第2讲　数列求和及数列的综合应用 命|题|分|析 　　1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现,通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列前几项的和,难度中档偏下; 2.在考查数列运算的同时,将数列与不等式、函数交汇。 考点整合真题感悟 [核心提炼] 　　1.(1)数列通项an与前n项和Sn的关系:an= (2)应用an与Sn的关系式f (an,Sn)=0时,应特别注意n=1时的情况,防止产生错误。 2.数列求和 (1)分组转化法:一个数列既不是等差数列,也不是等比数列,若将这个数列适当拆开,重新组合,就会变成几个可以求和的部分,分别求和,然后再合并。 (2)错位相减法:主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列。 (3)裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式,然后通过累加抵消中间若干项的方法,裂项相消法适用于形如(其中{an}是各项均不为零的等差数列,c为常数)的数列。 3.数列与函数、不等式的交汇 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景,给出数列所满足的条件,通常利用点在曲线上给出Sn的表达式,还有以曲线上的切点为背景的问题,解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系,将条件进行准确的转化。数列与不等式的综合问题一般以数列为载体,考查不等关系或恒成立问题。 [真题体验] 1.(2021·北京卷)数列{an}是递增的整数数列,且a1≥3,a1+a2+a3+…+an=100,则n的最大值为(C) A.9 B.10 C.11 D.12 解析　要想n最大,前面的项应该越小越好,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14这12项的和为102,超过了100,故n的最大值为11。故选C。 2.(2022·浙江卷)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an-(n∈N*),则(B) A.2<100a100< B.<100a100<3 C.3<100a100< D.<100a100<4 解析　由an+1=an-,得an+1-an=-<0,从而数列{an}是单调递减数列,所以an≤1,n∈N*。当n=1时,a1=1>0。假设当n=k时,ak>0成立,则当n=k+1时,ak+1=ak-=ak1-ak。因为ak∈(0,1],所以1-ak∈,1,所以ak+1=ak1-ak>0,故an>0对于所有n∈N*成立。由an+1=an1-an,得==+,所以-=>。累加,得->,所以>34,从而100a100<3;又由->,得>,所以-=<=1+。累加,得-<n+·++…+,则<+1+×++…+<34+××6+×93<40,所以100a100>。综上所述,<100a100<3。故选B。 3.(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1=1,an+1= (1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式; (2)求{an}的前20项和。 解　(1)因为bn=a2n,且a1=1,an+1=所以b1=a2=a1+1=2,b2=a4=a3+1=a2+2+1=5。因为bn=a2n, 所以bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3,所以bn+1-bn=a2n+3-a2n=3,所以数列{bn}是以2为首项,3为公差的等差数列,bn=2+3(n-1)=3n-1,n∈N*。 (2)因为an+1=所以k∈N*时,a2k=a2k-1+1　①,a2k+1=a2k+2　②,a2k+2=a2k+1+1　③,所以①+②得a2k+1=a2k-1+3,即a2k+1-a2k-1=3,所以数列{an}的奇数项是以1为首项,3为公差的等差数列;②+③得a2k+2=a2k+3,即a2k+2-a2k=3,又a2=2,所以数列{an}的偶数项是以2为首项,3为公差的等差数列。所以数列{an}的前20项和S20=(a1+a3+a5+…+a19)+(a2+a4+a6+…+a20)=10+×3+20+×3=300。 4.(2021·浙江卷)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-,且4Sn+1=3Sn-9(n∈N*)。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足3bn+(n-4)an=0(n∈N*),记{bn}的前n项和为Tn。若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立,求实数λ的取值范围。 解　(1)因为4Sn+1=3Sn-9,所以当n≥2时,4Sn=3Sn-1-9,两式相减可得4an+1=3an,即=。当n=1时,4S2=4=--9,解得a2=-,所以=。所以数列{an}是首项为-,公比为的等比数列,所以an=-×=-。 (2)因为3bn+(n-4)an=0,所以bn=(n-4)×。所以Tn=-3×-2×-1×+0×+…+(n-4)×　①,且