专题二 第3讲 平面向量（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

第3讲　平面向量 命|题|分|析 　　1.平面向量是高考的热点和重点,命题突出向量的基本运算与工具性,在解答题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合,主要以条件的形式出现,涉及向量共线、数量积等。 2.常以选择题、填空题的形式考查,中低等难度。 考点整合真题感悟 [核心提炼] 　　1.向量的线性运算 (1)向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则; (2)向量的减法遵循三角形法则; (3)向量的数乘运算: ①|λa|=|λ||a|; ②当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0。 2.向量的数量积运算 (1)数量积的定义:已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ。规定:0·a=0。 (2)数量积的性质 设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则 ①e·a=a·e=|a|cos θ。 ②a⊥b⇔a·b=0。 ③当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|。 特别地,a·a=|a|2或|a|=。 ④cos θ=。 ⑤|a·b|≤|a||b|。 3.有关结论 (1)共线定理及推论 ①已知向量a=(x1,y1),a≠0,b=(x2,y2),则a∥b⇔b=λa⇔x1y2-x2y1=0。 ②若=λ+μ,则A,B,C三点共线⇔λ+μ=1。 (2)三角形“四心”向量形式的充要条件 设O为△ABC所在平面上一点,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则 ①O为△ABC的外心⇔||=||=||=。 ②O为△ABC的重心⇔++=0。 ③O为△ABC的垂心⇔·=·=·。 ④O为△ABC的内心⇔a+b+c=0。 [真题体验] 1.(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则t=(C) A.-6 B.-5 C.5 D.6 解析　因为a=(3,4),b=(1,0),所以c=a+tb=(3+t,4)。由题意,得cos<a,c>=cos<b,c>,即=,解得t=5。故选C。 2.(2022·全国乙卷)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,则a·b=(C) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析　将|a-2b|=3两边平方,得a2-4a·b+4b2=9。因为|a|=1,|b|=,所以1-4a·b+12=9,解得a·b=1。故选C。 3.(2021·全国乙卷)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ=  。  解析　a-λb=(1-3λ,3-4λ),因为(a-λb)⊥b,所以(a-λb)·b=0,即(1-3λ,3-4λ)·(3,4)=0,所以3-9λ+12-16λ=0,解得λ=。 4.(2021·新高考全国Ⅱ卷)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,则a·b+b·c+c·a= - 。  解析　解法一:由a+b+c=0⇒(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=0,所以a·b+b·c+c·a=-。 解法二:由a+b=-c⇒a2+b2+2a·b=c2⇒a·b=-,由a+c=-b⇒a2+c2+2a·c=b2⇒a·c=-,由b+c=-a⇒b2+c2+2b·c=a2⇒b·c=-,所以a·b+b·c+c·a=-。 5.(2020·北京卷)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足=(+),则||=  ;·= -1 。  解析　解法一:因为=(+),所以点P为BC的中点,又正方形ABCD的边长为2,所以||===,·=||·||·cos∠BPD=1××(-cos∠CPD)=-×=-×=-1。 解法二:以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,因为正方形ABCD的边长为2,所以D(0,2),B(2,0)。因为=(+),所以点P为BC的中点,所以P(2,1),所以=(0,-1),=(-2,1),所以||==,·=0×(-2)+(-1)×1=-1。 热点聚焦考向突破 考向一 平面向量的线性运算 　　【例1】　(1)(2022·新高考全国Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA。记=m,=n,则=(B) A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 解析　因为BD=2DA,所以=+=+3=+3(-)=-2+3=-2m+3n。故选B。 (2)(2022·湖南永州模拟)已知△ABC中,AB=1,AC=3,cos A=,点E在直线BC上,且满足=2+λ(λ∈R),则||=(D) A. B.3 C.3 D.6 解析　由=2+λ得-=2+λ,即=3+λ。因为点E在直线BC上,