专题二 第2讲 三角恒等变换、解三角形（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

第2讲　三角恒等变换、解三角形 命|题|分|析 　　高考对本部分内容的考查主要从以下方面进行: (1)利用各种三角函数公式进行求值与化简,其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点。 (2)利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算,三角形形状的判定以及有关范围的计算,常与三角恒等变换综合考查。 考点整合 真题感悟 [核心提炼] 　　1.同角三角函数的基本关系 sin2α+cos2α=1,=tan αα≠+kπ,k∈Z。 2.诱导公式的记忆口诀 在+α,k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”。 3.熟记三角函数公式的两类变形 (1)和差角公式变形。 sin αsin β+cos(α+β)=cos αcos β, cos αsin β+sin(α-β)=sin αcos β, tan α±tan β=tan(α±β)·(1∓tan αtan β)。 (2)倍角公式变形。 降幂公式:cos2α=,sin2α=。 升幂公式:cos α=2cos2-1,cos α=1-2sin2。 配方变形:1±sin α=。 4.正弦定理及其变形 在△ABC中,===2R(R为△ABC的外接圆半径)。变形:a=2Rsin A,sin A=,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C等。 5.余弦定理及其变形 在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A。 变形:b2+c2-a2=2bccos A, cos A=。 6.三角形面积公式 S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B。 7.解三角形中常用的结论 (1)在△ABC中,tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C。 (2)在△ABC中,内角A,B,C成等差数列的充要条件是B=60°。 (3)△ABC为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列,且a,b,c成等比数列。 (4)S△ABC=(R为△ABC的外接圆半径)。 [真题体验] 1.(2022·新高考全国Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=2cosα+sin β,则(C) A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1 解析　解法一:设β=0,则sin α+cos α=0,则tan α=-1。取α=,排除A,B。设α=0,则sin β+cos β=2sin β,即tan β=1。取β=,排除D。故选C。 解法二:因为sin(α+β)+cos(α+β)=sinα+β+=sinα++β=sinα+cos β+cosα+sin β=2cosα+sin β,所以sinα+cos β=cosα+sin β,所以sinα+cos β-cosα+sin β=0,即sinα+-β=0。所以sinα-β+=sin(α-β)+cos(α-β)=0,即sin(α-β)=-cos(α-β),所以tan(α-β)=-1。故选C。 2.(2022·北京卷)若函数f (x)=Asin x-cos x的一个零点为,则A= 1 ;f = - 。  解析　由题意可知f =0,即Asin-cos=0,所以A×-×=0,所以A=1,所以f (x)=sin x-cos x=2sinx-,所以f =2sin-=2sin-=-2sin=-2×=-。 3.(2022·浙江卷)我国南宋著名数学家秦九韶,发现了从三角形三边求面积的公式,他把这种方法称为“三斜求积”,它填补了我国传统数学的一个空白。如果把这个方法写成公式,就是S=,其中a,b,c是三角形的三边,S是三角形的面积。设某三角形的三边a=,b=,c=2,则该三角形的面积S=  。  解析　因为a=,b=,c=2,所以S== =。 4.(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b= 2 。  解析　由题意得S△ABC=acsin B=ac=,则ac=4,所以a2+c2=3ac=3×4=12,所以b2=a2+c2-2accos B=12-2×4×=8,则b=2。 5.(2021·浙江卷)我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明,弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)。若直角三角形直角边的长分别为3,4,记大正方形的面积为S1,小正方形的面积为S2,则= 25 。  解析　因为直角三角形直角边的长分别为3,4,所以S1=()2=25,S2=25-4××3×4=1,所以=25。 热点聚焦考向突破 考向一 三角恒等变换 　　【例1】　(1)(2022·南京、盐城模拟)利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°到90°之间角的三角函数值,而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到。下表为部分锐角的