高考之变(二) 聚焦思维能力,助力素养发展（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

高考之变(二)　聚焦思维能力,助力素养发展 命|题|分|析 　　命题中更加注重考查思维过程,突出逻辑思维和推理能力,使内在思考过程外显,让理解能力可显可见、机械刷题失速失效;命题中增强试题的开放程度和创新性,鼓励学生运用创造性,发散性思维多角度分析解决问题,激发学生创新意识,引导改变追求唯一标准答案、总结答题套路等固化的备考模式。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一 命制举例试题,再现开放特性 　　【例1】　(2022·全国乙卷)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为 (x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或x-2+y-2=或x-2+(y-1)2= 。  解析　解法一:设点A(0,0),B(4,0),C(-1,1),D(4,2)。 (1)若圆过A,B,C三点,则圆心在直线x=2上,设圆心坐标为(2,a),则4+a2=9+(a-1)2,解得a=3,则半径r==,所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13。 (2)若圆过A,B,D三点,设圆心坐标为(2,a),则4+a2=4+(a-2)2,解得a=1,则半径r==,所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5。 (3)若圆过A,C,D三点,易求线段AC的中垂线方程为y=x+1,线段AD的中垂线方程为y=-2x+5。联立得方程组解得则半径r==,所以圆的方程为x-2+y-2=。 (4)若圆过B,C,D三点,易求线段BD的中垂线方程为y=1,线段BC的中垂线方程为y=5x-7。联立得方程组解得则半径r==,所以圆的方程为x-2+(y-1)2=。 解法二: 在平面直角坐标系中画出四个点,如图。设A(0,0),B(4,0),C(-1,1),D(4,2)。易知由A,B,D三点构成的三角形为直角三角形,且∠ABD=90°,所以过A,B,D三点的圆的圆心为线段AD的中点,易求该点的坐标为(2,1),所以该圆的半径r==,所以该圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5。 求圆的方程的两种方法,(1)几何法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出圆的方程。(2)待定系数法:①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则可设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,求出a,b,r的值;②设出圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F =0,依据已知条件列出关于D,E,F 的方程组,求出D,E,F 的值,再验证D2+E2-4F 是否大于0。 类型二 增加运算量,彰显选拔功能 　　【例2】　(2022·新高考全国Ⅰ卷)设a=0.1e0.1,b=,c=-ln 0.9,则(C) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 解析　设f (x)=(1-x)ex-1,x>0,则当x>0时,f '(x)=-ex+(1-x)ex=-xex<0,所以f (x)在(0,+∞)上单调递减,所以f (0.1)<f (0)=0,即0.9e0.1-1<0,所以0.1e0.1<,即a<b。令g(x)=x-ln(1+x),x>0,则当x>0时,g'(x)=1-=>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g>g(0)=0,即-ln1+>0,所以>-ln,即b>c。令h(x)=xex+ln(1-x),0<x≤0.1,则h'(x)=(1+x)ex+=。设t(x)=(x2-1)ex+1,则当0<x≤0.1时,t'(x)=(x2+2x-1)ex<0,所以t(x)在(0,0.1]上单调递减,所以t(x)<t(0)=0,所以当0<x≤0.1时,h'(x)>0,所以h(x)在(0,0.1]上单调递增,所以h(0.1)>h(0)=0,即0.1e0.1+ln 0.9>0,所以0.1e0.1>-ln 0.9,即a>c,所以b>a>c。故选C。 破解此类题的关键:一是细审题,如本题,盯题眼“a=0.1e0.1,b=,c=-ln 0.9”,能发现它们的共性;二是巧构造,即会构造函数,并判断其单调性,注意活用导数法或初等函数的单调性进行判断;三是会放缩,即会利用放缩法比较大小。 类型三 加强数学直观,突出核心素养 　　【例3】　(2022·新高考全国Ⅰ卷)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上。若该球的体积为36π,且3≤l≤3,则该正四棱锥体积的取值范围是(C) A.18, B., C., D.[18,27] 解析　设该球的半径为R,则由题意知πR3=36π,解得R=3。如图,连接AC,BD,相交于点E,连接PE并延长,交球于点Q,连接QD,则PQ=2R=6。易知PD⊥QD,DE⊥PQ,所以由射影定理,得PD2=PE·PQ,所以PE=,所以DE==,所以DC=DE=×,所