专题12 解三角形综合-2023年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题12 解三角形综合 从近几年新课标的命题来看，文（理）科卷都是各出一个题，选填填或解答题，整体来说难度不大。考查的知识点方面，齐次式结构类型居多，往往利用正弦定理转化边角后，求出其中一个角或者得到一个新的关系式，从而进行下一步的运算。不要轻易约分，不要轻易约分，不要轻易约分。另外，利用三角形内角和为180进行消元转化也是常用手段，至于消谁，就看谁好消了。这一节内容跟前面所学两角和差以及辅助角公式等内容结合较为紧密，学好前面内容是学好这一节的基础。 如果试题较难的话，可用给予条件较多的的三角形突破，有时要有方程(不等式)思想，建立未知量间的等量(不等)关系从而解决问题。当然，将三角形建系坐标化有时也不失为一种好方法。备考方面，稳固基础，多去尝试，从不同的角度去看待理解问题，比较不同思考角度间的优劣，该如何去做选择。 一、热点题型归纳 题型1. 最值与范围1：面积与最值 题型2.最值与范围2：周长与最值 题型3.最值与范围3：角度与最值 题型4.最值与范围4：其他最值 题型5.三大线1：角平分线 题型6.三大线2：中线 题型7.三大线3：高线 题型8.三角形中的内心问题 题型9.三角形中的外心问题 题型10. 三角形与四边形中的解三角形 题型11.证明类问题 二、最新模考题组练 三、十年高考真题练 【题型1】 最值与范围1：面积与最值 【解题技巧】解三角形求最值，主要是两个思路：1）利用余弦定理，借助均值不等式来求；2）利用正弦定理，边角互化来求，化角时，要注意角的取值范围限制。 【典例分析】 例1.（2022·湖南·高三月考）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知的外接圆半径，且．(1)求B和b的值；(2)求面积的最大值． 【答案】(1)，b=2；(2) 【分析】（1）利用同角三角函数间的关系切化弦得，再由正弦的和角公式化简可求得B，再利用正弦定理可求得b；（2）由余弦定理得，利用基本不等式得，由三角形的面积公式可求得答案. （1）解：因为，所以， ，即， 因为，所以，又，所以，所以， 又的外接圆半径，所以由正弦定理得； （2）解：由余弦定理得， 由基本不等式得（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 故面积的最大值为． 例2．（2022成都市高三期中）在△中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知． （1）求角B；（2）若△为锐角三角形，且，求△面积的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由题设及正弦定理，三角函数恒等变换的应用结合，，可求，进而可求的值．（2）由题设及正弦定理，可求，结合，可求，可求范围，进而根据三角形的面积公式即可求解面积的取值范围． 【详解】（1）由题设及正弦定理得因为，所以． 由，可得，故． 因为，故，由． （2）由题设及（1）知的面积．由正弦定理得． 由于为锐角三角形，故，，由（1）知，所以， 故，所以，从而．因此，面积的取值范围是． 【变式演练】 1．（2022.山西高三模拟）如图，在平面凹四边形中，，，，角满足：．(1)求角的大小(2)求凹四边形面积的最小值． 【答案】(1)(2) 【分析】(1)结合已知条件，利用二倍角公式求解；(2)结合已知条件，利用余弦定理和均值不等式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 即，因为，则，所以，即. （2）连接，设，，因为，，， 所以在中，由余弦定理得，即， 在中由余弦定理得，即， 故，当且仅当时，不等式取等号，从而， 故凹四边形的面积， 从而四边形面积的最小值是. 2.（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）如图，在平面四边形中，. (1)证明：；(2)记与的面积分别为和，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析(2)14 【分析】（1）分别在和中，利用余弦定理表示BD，然后联立求解； （2）结合（1）得到 ，利用二次函数的性质求解. (1)证明：在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， ∴，所以，即. (2)，， 则由（1）知：， 代入上式得，， ∴当时，取到最大值14. 【题型2】最值与范围2：周长与最值 【解题技巧】注意条件合理的分析转化：1）角与对边型：正弦定理；2）对称边，可余弦定理+均值不等式。 注意：1）利用均值求周长的范围时，注意利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）” 2）正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换．求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论． 【典例分析】 例1.（2022·湖北·襄阳高三开学考试）在锐角中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，从条件①：，条件②：，条件③：这三个条件中选择一个作为已知条件． (1)求角A的大小；(