专题16 二次函数综合题（全等三角形、特殊三角形的判定、相似三角形问题）-2023年中考数学重难题型及变式考点突破（陕西专用）

专题16二次函数综合题 （全等三角形、特殊三角形的判定、相似三角形问题） 类型四全等问题 【真题再现】 （2020•陕西）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l． （1）求该抛物线的表达式； （2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标． 【真题变式】 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)． (1)求抛物线的解析式，并分别求出点B和点E的坐标； (2)试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE.若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点是x轴上的动点． 　　　 （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线于点G．过点P作于点D，当n为何值时，； 类型五特殊三角形的判定问题 【题型预测】 （2023渭南高级中学）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？ （3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型变式】 【变式1】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）． （1）求抛物线的解析式． （2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标． 【变式2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE． （1）求抛物线的表达式； （2）判断△BCE的形状，并说明理由； 【变式3】如图，已知二次函数的图象经过点且与轴交于原点及点． （1）求二次函数的表达式； （2）求顶点的坐标及直线的表达式； （3）判断的形状，试说明理由； 【变式4】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）三点． （1）求该抛物线的解析式； （2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段AC于点E，若BD＝5DE． ①求直线BD的解析式； ②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧，点R是直线BD上的动点，若△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标． 类型六相似三角形问题 【真题再现】 （2021·陕西中考真题）已知抛物线与x轴交于点A、B（其中A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点B、C的坐标； （2）设点与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使与相似且与是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【真题变式】 【变式1】如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两点，与y轴交于C（0，－3），对称轴为直线，直线y＝－2x＋m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F． （1）求抛物线的解析式和m的值； （2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由； 【变式2】如图，已知抛物线交轴于、两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”，图象交轴于点． (1)写出图象位于线段上方部分对应的函数关系式； (2)若直线与图象有三个交点，请结合图象，直接写出的值； (3)为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与两坐标轴分别相交于A，B，C三点 （1）求证：∠ACB=90° （2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F． ①求DE+BF的最大值； ②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，求点D的坐