专题15 二次函数综合题（与线段、图形面积、特殊四边形的判定有关问题）-2023年中考数学重难题型及变式考点突破（陕西专用）

专题15二次函数综合题 （与线段、图形面积、 特殊四边形的判定有关问题） 类型一与线段有关问题 【真题再现】 （2023曲江一种）已知抛物线y=a(x－2)2+c经过点A(－2,0)和点C(0,)，与x轴交于另一点B，顶点为D． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（点E不与点A，B重合），且∠DEF=∠DAB，DE=EF，直接写出线段BE的长． 【真题变式】 【变式1】在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处． (1)求抛物线的解析式； (2)求点P的坐标； (3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是抛物线上位于直线上方的一点，与相交于点E，当时，求点P的坐标； （3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿方向平移，使点D落在点处，且，点M是平移后所得抛物线上位于左侧的一点，轴交直线于点N，连结．当的值最小时，求的长． 类型二与图形面积有关问题 【真题再现】 （2023航天中学）已知抛物线过点和，与x轴交于另一点B，顶点为D． （1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标； （2）如图1，E为线段上方的抛物线上一点，，垂足为F，轴，垂足为M，交于点G．当时，求的面积； （3）如图2，与的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【真题变式】 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒． （1）求、的值； （2）在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ （3）在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】已知：直线与轴、轴分别交于、两点，点为直线上一动点，连接，为锐角，在上方以为边作正方形，连接，设． （1）如图1，当点在线段上时，判断与的位置关系，并说明理由； （2）真接写出点的坐标（用含的式子表示）； （3）若，经过点的抛物线顶点为，且有，的面积为．当时，求抛物线的解析式． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求面积的最大值； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线AD平移个单位，得到新的抛物线，点E为点P的对应点，点F为的对称轴上任意一点，在上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 类型三与特殊四边形有关问题 【真题再现】 （2022陕师大附中期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，．探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 【真题变式】 【变式1】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为． (1)求点的坐标；(2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；(3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C． (1)求二次函数的表达式；(2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N． ①若点N在线段上，且，求点M的坐标； ②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标． 【变式3】如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C