热点6-2 等比数列的通项及前n项和7大题型-2023年高考数学【热点•重点•难点】专练（新高考专用）

热点6-2 等比数列的通项及前n项和7大题型 主要考查等比数列的基本量计算和基本性质、等比数列的中项性质、判定与证明，这是高考热点；等比数列的求和及综合应用是高考考查的重点。这部分内容难度以中、低档题为主，结合等差数列一般设置一道选择题和一道解答题。 一、等比数列的判定方法 1、定义法：（常数）为等比数列； 2、中项法：（）为等比数列； 3、通项公式法：（，为常数）为等比数列. 二、等比数列前n项和运算的技巧 1、在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：，，，，，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答； 2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可以看作一个整体。 三、等比数列前n项和的函数特征 1、与的关系 （1）当公比时，等比数列的前项和公式是， 它可以变形为，设，则上式可以写成的形式， 由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点； （2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点。 2、与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数。 【题型1 等比数列的基本量计算】 【例1】（2023·陕西铜川·校考一模）设正项等比数列的前n项和为，若，，则通项（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023秋·山东泰安·高三统考期末）已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，，则（ ） A． B． C．48 D．96 所以，故选:C 【变式1-2】（2023春·河南开封·高三统考开学考试）已知等比数列的前4项和为30，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023春·云南·高三校联考开学考试）等比数列的n前项和为，若，则（ ） A．3 B．6 C．12 D．14 【变式1-4】（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知各项均为正数的等比数列，前n项和为，若，则n的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【题型2 等比中项及性质应用】 【例2】（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）在各项均为正数的等差数列中，，若成等比数列，则公差d=（ ） A．或2 B．2 C．1或 D．1 【变式2-1】（2022秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）在等比数列中，若，是方程的根，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【变式2-2】（2023·广东佛山·统考一模）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（ ） A．30 B．10 C．9 D．6 【变式2-3】（2023·江西·校联考一模）已知等比数列满足：，，则的值为___________. 【变式2-4】（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知是等比数列的前n项和，若，且，则（ ） A．96 B． C．72 D． 【变式2-5】（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）在正项等比数列中，若是关于的方程的两实根，则（ ） A．8 B．9 C．16 D．18 【变式2-6】（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知等比数列的各项均为正数且公比大于1，前n项积为，且，则使得的n的最小值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【题型3 等比数列的判定与证明】 【例3】（2023秋·河南开封·高三统考期末）在数列中,,,则（ ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【变式3-1】（2022秋·北京·高三北京市八一中学校考阶段练习）记为数列的前项和，给出以下条件，其中一定可以推出为等比数列的条件是（ ） A． B． C． D．是等比数列 【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知数列的前项和为. （1）若是等比数列，求； （2）若，证明：均为等比数列. 【变式3-4】（20