[中学联盟]湖南省冷水江市第一中学人教版数学（文）高三上册：函数与三角函数

例1、已知函数． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期： （Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值． 解答：解：（Ⅰ）∵ =4cosx（）﹣1 =sin2x+2cos2x﹣1 =sin2x+cos2x =2sin（2x+） 所以函数的最小正周期为π -----------6分 （Ⅱ）∵﹣≤x≤， ∴﹣≤2x+≤ ∴当2x+=，即x=时，f（x）取最大值2 当2x+=﹣时，即x=﹣时，f（x）取得最小值﹣1 ---------12分 例2、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.[来源:Z,xx,k.Com] (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值． (1)由bsinA＝cosB， ，得sinB＝＝acosB及正弦定理 所以tanB＝， 所以B＝. (2)由sinC＝2sinA及，得 ＝ c＝2a. 由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得 9＝a2＋c2－ac. 所以a＝. ，c＝2 例3、已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11. (1)写出函数的递减区间； (2)讨论函数的极大值或极小值，如有试写出极值． [解析]　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)， 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3. x变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示： x (－∞，－1) －1 (－1,3) 1 (3，＋∞) f′(x) ＋[来源:学_科_网] 0 － 0 ＋ f(x) 增 极大值f(－1) 减 极小值f(3) 增 (1)由表可得函数的递减区间为(－1,3) (2)由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f(－1)＝16；当x＝3时，函数有极小值为f(3)＝－16. 例4、已知函数. (I)若函数在区间上为增函数,求的取值范围; (II)若对任意恒成立,求实数的最大值. 【答案】 例5、已知函数 (1)若函数在x=2处取得极值,求实数a的值; (2)若函数在定义域内单调递增,求a的取值范围; (3)若时,关于x的方程在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围. 例6、设函数 （Ⅰ）求 的单调区间和极值； （Ⅱ）若关于 的方程 有3个不同实根，求实数a的取值范围. （Ⅲ）已知当 恒成立，求实数k的取值范围. 19、解:（Ⅰ） ∴当 ， ∴ 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 当 ；当 （Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可知 图象的大致形状及走向（图略） ∴当 的图象有3个不同交点， 即方程 有三解（ （Ⅲ） ∵ 上恒成立 令 ，由二次函数的性质， 上是增函数， ∴ ∴所求k的取值范围是 例7.已知函数 （a-b） <b)。 （I）当a=1，b=2时，求曲线 在点（2， ）处的切线方程。 （II）设 是 的两个极值点， 是 的一个零点，且 ， 证明：存在实数 ，使得 按某种顺序排列后的等差数列，并求 解析：本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导线应用、等差数列等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识。 (Ⅰ)解：当a=1,b=2时， 因为f’(x)=(x-1)(3x-5) 故f’(2)=1 f(2)=0,[来源:学|科|网Z|X|X|K] 所以f(x)在点（2,0）处的切线方程为y=x-2 （Ⅱ）证明：因为f′（x）＝3（x－a）（x－ ）， 由于a<b. 故a< . 所以f（x）的两个极值点为x＝a，x＝ .[ 不妨设x1＝a，x2＝ ， 因为x3≠x1，x3≠x2，且x3是f（x）的零点， 故x3＝b. 又因为 －a＝2（b－ ）， x4＝ （a＋ ）＝ ， 所以a， ， ，b依次成等差数列， 所以存在实数x4满足题意，且x4＝ . 1、在△中，已知． （Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若，，求△的面积． 【答案】（Ⅰ）解法一：因为， 所以 ． ………………3分 因为 ， 所以 ， 从而 ， ………………5分 所以 ． ………………6分 解法二： 依题意得 ， 所以 ， 即 ． ………………3分 因为 ， 所以 ， 所以 ． ………………5分 所以 ．