专题7-2 立体几何压轴小题：角度与动点、体积（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）

专题7-2 立体几何压轴小题：角度与动点、体积 目录 讲高考 1 题型全归纳 3 【题型一】角度1：线线角 3 【题型二】角度2：线面角 4 【题型三】角度3：二面角 5 【题型四】角度综合 6 【题型五】体积1：体积比 7 【题型六】体积2：不规则 8 【题型七】体积3：最值型 9 【题型八】体积4：翻折“包装”型 10 【题型九】体积5：祖暅定理型 11 【题型十】立体几何中的轨迹 12 专题训练 13 讲高考 1．（福建·高考真题）如图，A、B、C是表面积为的球面上三点，，O为球心，则直线与截面所成的角是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·天津·统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（    ） A．23 B．24 C．26 D．27 6．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（    ） A． B． C． D． 7．（2022·全国·统考高考真题）在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（    ） A． B．AB与平面所成的角为 C． D．与平面所成的角为 8．（2019·浙江·高考真题）设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则 A． B． C． D． 9．（2017·全国·高考真题）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______． 题型全归纳 【题型一】角度1：线线角 【讲题型】 例题1.．已知正三棱锥的底面是边长为6的正三角形，其外接球球的表面积为，且点到平面的距离小于球的半径，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 例题2 如图，已知正三棱锥，，，点，分别棱，上（不包含端点），则直线，所成的角的取值范围是______. 【讲技巧】 ：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 【练题型】 1..空间四面体中，，.，直线与所成的角为45°，则该四面体的体积为___ 2.已知三棱锥满足：，二面角为，且M为棱上一点，，O为三棱锥外接球的球心，则直线与直线夹角的正弦值是（    ） A． B． C． D．1 【题型二】角度2：线面角 【讲题型】 例题1..如图，在直三棱柱中，已知是边长为1的等边三角形，，，分别在侧面和侧面内运动（含边界），且满足直线与平面所成的角为30°，点在平面上的射影在内（含边界）．令直线与平面所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例题2..如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【讲技巧】 计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 【练题型】 1..如图，正四面体ABCD