第17讲 立体几何中点、线、面的位置关系-2023年高考数学二轮高频考点透析与三年真题精练

第17讲 立体几何中点、线、面之间的位置关系 一、课标要求： 基本图形位置关系 ①借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解以下基本事实（基本事实1~4也称公理）和定理。 基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行。 定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 ②从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下判定定理，并加以证明。 ◆一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。 ◆两个平面平行，若果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行。 ◆垂直于同一个平面的两条直线平行。 ◆两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。 ③从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下性质定理，并加以证明。 ◆若果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。 ◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。 ◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。 ◆如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。 ④能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题。 二、知识梳理 一、平面的基本性质： （点与直线、平面： ；直线与平面：；线线、线面、面面相交时：） 1． 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．∵，∴直线． 2． 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．∵三点不共线，∴经过确定平面． 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．∵，∴经过与确定平面． 推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．∵，∴经过与确定平面． 推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．∵，∴经过与确定平面． 3． 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． ∵，∴，且． 【∵∴．】 二、空间点、线、平面之间的位置关系： 1． 空间中直线与直线的位置关系： ⑴异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线． ⑵公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．∵，∴． ⑶定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． ⑷异面直线所成的角： 已知两条异面直线， 经过空间任一点 作直线， 我们把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角)．范围：． 常用方法有：平移法和向量法． 【∵，∴（或其补角）为异面直线与所成的角（或夹角）．】 ⑸两条异面直线垂直的定义：如果两条异面直线所成的角为直角，就称这两条直线垂直．记作．因此，两直线垂直有两种情形：异面垂直、相交垂直． 2． 空间中直线与平面的位置关系： ⑴直线与平面所成的角：主要掌握斜线与平面所成的角（即斜线和它在该平面上的射影所成的锐角） ． 范围 ． 【∵，∴为与平面所成的角．】 ⑵直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直．记作．①定义：，，则；②性质：若，，则． 3． 空间中平面与平面的位置关系： ⑴定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． ⑵在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱?的射线和，则射线和构成的叫做平面角．二面角的大小是用其平面角来度量的．范围． 确定平面角的方法：①定义法，②垂面法，③三垂线定理法． 【∵，，∴是二面角的平面角．】 平面角是直角的二面角叫做直二面角． ⑶两个平面互相垂直的定义：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，则称这两个平面互相垂直．记作．该定义可用于证明面面垂直，即证明二面角的平面角为直角（平面角为直角常用勾股定理证明）． 三、直线与平面、平面与平面平行的判定及其性质：【符号语言为定理使用模式，小括号中的内容可适当省略．】 1． 直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． ∵，∴． 2． 两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． ∵∴． 3． 直线与平面平行的性质定理：一条直线和一个平面平