热点6-1 等差数列的通项及前n项和8大题型-2023年高考数学【热点•重点•难点】专练（新高考专用）

热点6-1 等差数列的通项及前n项和8大题型 主要考查等差数列的基本量计算和基本性质、等差数列的中项性质、判定与证明，这是高考热点；等差数列的求和及综合应用是高考考查的重点。这部分内容难度以中、低档题为主，结合等比数列一般设置一道选择题和一道解答题。 一、判断等差数列的方法 1、定义法：（常数）是等差数列； 2、等差中项法：是等差数列； 3、通项公式法：（，为常数）是等差数列。 4、前n项和法：（，为常数）是等差数列。 其中前两种方法适用于解答题中的证明问题；后来两种方法适用于选择填空的判断问题。 二、等差数列的前n项和常用的性质 1、设等差数列的公差为，为其前n项和，等差数列的依次项之和，，，…组成公差为的等差数列； 2、数列是等差数列⇔(a，b为常数)⇔数列为等差数列，公差为； 3、若S奇表示奇数项的和，表示偶数项的和，公差为d； ①当项数为偶数时，，，； ②当项数为奇数时，，，. 4、在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 三、求等差数列的前n项和的最值的方法 1、二次函数法：将配方，若，则从二次函数的角度看：当时，有最小值；当时，有最大值； 当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 2、邻项变号法： 当，时，满足的项数n使取最大值； 当，时，满足的项数n使取最小值。 3、不等式组法：借助当最大时，有，解此不等式组确定的范围，进而确定的值和对应的值（即最大值），类似可求的最小值。 【题型1 等差数列的基本量计算】 【例1】（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，若且，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知等差数列的前n项和为，若数列满足：对任意的，都有，且，则（ ） A．20 B．39 C．63 D．81 【变式1-2】（2023秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）已知公差小于零的等差数列的前项和为，且，则使成立的最大正整数为（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）设 为等差数列的前项和，，则（ ） A． B． C． D．2 【变式1-4】（2023·河南郑州·统考一模）设等差数列的前项和为，，，则公差的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【题型2 等差中项及应用应用】 【例2】（2023·全国·校联考模拟预测）记等差数列的前项和为，若，则（ ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式2-1】（2022秋·北京·高三北京交通大学附属中学校考阶段练习）已知数列满足，则等于（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2-2】（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知等差数列 的前项和为， 若且， 则（ ） A．25 B．45 C．55 D．65 【变式2-3】（2022·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）设数列是等差数列，是数列的前n项和，，，则等于（ ） A．10 B．15 C．20 D．25 【变式2-4】（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校联考阶段练习）已知是等差数列的前项和，若，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2-5】（2022秋·山东济宁·高三统考期末）等差数列的前项和为，若，则__________. 【题型3 等差数列的判定与证明】 【例3】（2023·广东深圳·统考一模）记，为数列的前n项和，已知，． （1）求，并证明是等差数列； （2）求． 【变式3-1】（2023秋·河北邢台·高三统考期末）已知数列{}满足，. （1）记，证明{}为等差数列，并求{}的通项公式； （2）求{}的前2n项和. 3n2 【变式3-2】（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等差数列； （2）若，求数列前n项和． 【变式3-3】（2022秋·福建宁德·高三校考期末）已知为数列的前项积，且. （1）证明：数列是等差数列； （2）记，求数列的前项和. 【题型4 由Sn与an关系求通项】 【例4】（2023秋·安徽合肥·高三校考期末）已知数列的前n项和为，，，则（ ） A．414 B．40