专题19 复杂问题列举法策略-2023年新高考数学题型全归纳之排列组合

专题19 复杂问题列举法策略 【方法技巧与总结】 对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往运用穷举法或画出树状图，会收到意想不到的结果． 【典型例题】 例1．（2023·全国·高三专题练习）数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是（    ） A．28 B．24 C．20 D．16 【答案】A 【解析】显然a，b，c，d均为不超过5的自然数，下面进行讨论． 最大数为5的情况： ①，此时共有种情况； 最大数为4的情况： ②，此时共有种情况； ③，此时共有种情况． 当最大数为3时，，故没有满足题意的情况． 综上，满足条件的有序数组的个数是． 故选：A 例2．（2023·江苏盐城·江苏省滨海中学校考模拟预测）从集合的非空子集中随机选择两个不同的集合A，B，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合的非空子集有共7个， 从7个中选两个不同的集合A，B，共有种选法， 因为， 当时，则可为共3种， 当时，共1种， 同理当时，则可为共3种， 当时，共1种， 则符合的共有种， 所以的概率为. 故选：A. 例3．（2023春·浙江宁波·高二校联考期末）已知字母，，各有两个，现将这6个字母排成一排，若有且仅有一组字母相邻（如），则不同的排法共有（    ）种 A．36 B．30 C．24 D．16 【答案】A 【解析】有且仅有一组字母相邻，这组字母有三种情况：. 当相邻的这组字母为时，将6个位置编成1-6号， 若在1号和2号，则3号和5号字母相同，4号和6号字母相同，有2种排法； 若在2号和3号，则1号和5号字母相同，4号和6号字母相同，有2种排法； 若在3号和4号，则1号和2号字母不相同，5号和6号字母不相同，有种排法； 若在4号和5号，则2号和6号字母相同，1号和3号字母相同，有2种排法； 若在5号和6号，则1号和3号字母相同，2号和4号字母相同，有2种排法， 即相邻的字母为时，共有种排法. 同理，相邻的字母为时，也都有12种排法，故共有种排法. 故选：A. 例4．（2023·全国·高三专题练习）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走了几个单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点处的所有不同走法共有（    ） A．21种 B．22种 C．25种 D．27种 【答案】D 【解析】由题意，正方形的周长为8，抛掷三次骰子的点数之和为8或16， ①点数之和为8的情况有：；；；；，排列方法共有种； ②点数之和为16的情况有：；，排列方法共有种. 所以，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点处的所有不同走法共有种. 故选：D. 例5．（2023·高二课时练习）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数的一种方法．例如：3可表示为“”，26可表示为“”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用这9数字表示两位数的个数为　　 A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【解析】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7； 数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示个两位数； 数字组合3、3，7、7，每组可以表示1个两位数，则可以表示个两位数； 则一共可以表示个两位数； 故选． 例6．（2023·海南海口·统考一模）形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字，千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可组成数字不重复的五位“波浪数”的个数为 A．20 B．18 C．16 D．11 【答案】C 【解析】此“波浪数”中，十位数字，千位数字必有5、另一数是3或4； 是4时“波浪数”有； 另一数3时4、5必须相邻即45132；45231；13254；23154四种． 则由1，2，3，4，5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为16， 故选C． 例7．（2023春·陕西西安·高二西安中学校考期中）我们把各位数字之和等于6的三位数称为“吉祥数”，例如123就是一个“吉祥数”，则这样的“吉祥数”一共有（　　） A．28个 B．21个 C．35个 D．56个 【答案】B 【解析】当数字为时，此时可组成数字的个数为个； 当数字为时，此时可组成数字的个数为