专题18 环排问题-2023年新高考数学题型全归纳之排列组合

专题18 环排问题 【方法技巧与总结】 在圆排列数中： （1）个元素围成一圈其圆排列数为 （2）在个元素中，每次取出个不同的元素进行圆排列，圆排列数为． （3）当从个相异的元素中，每次取出颗串成一个圆环，因其正反相对的两个圆排列在串成一个圆环时完全相同，故圆环数为．对于较复杂的问题，可适当采用分步揷人、捆绑及利用种数公式处理． 【典型例题】 例1．（2023·全国·高三专题练习）21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为（     ） A．19 B．38 C．51 D．57 【答案】D 【解析】当倒数第个人出来表演节目时，一共报数了次. 故选：D 例2．（2023·全国·高三专题练习）A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（   ） A．60种 B．48种 C．30种 D．24种 【答案】B 【解析】首先，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子， 考虑B、C两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以互换， 根据排列数的计算公式，得到，，接下来，考虑其余三人的情况， 其余位置可以互换，可得种，最后根据分步计数原理，得到种， 故选B. 例3．（2023春·江苏苏州·高二昆山震川高级中学校考期中）现有8个人围成一圈玩游戏，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】8个人围成一圈,有种. 其中甲、乙、丙三人相邻，看做一个整体，由. 所以甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为. 故答案为：D 例4．（2023·全国·高三专题练习）现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（    ）． A．6种 B．8种 C．12种 D．16种 【答案】B 【解析】先安排甲，其选座方法有种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种，所以共有坐法种数为种． 故选：B． 例5．（2023春·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（    ）. A．40320种 B．5040种 C．20160种 D．2520种 【答案】D 【解析】先从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有种方法， 再将剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，共有种方法， 由于图形是轴对称图形，所以上述方法正好重复一次， 所以不同的涂色方法，共有种不同的涂法. 故选：D. 例6．（2023春·辽宁·高三校联考阶段练习）已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙丙”与该排列旋转一个或几个位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一个排列．现有位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有种，那么这位同学围成一个圆时，不同的站法总数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因站成一排时甲在乙左与甲在乙右的站法数相同，而m位同学站成一排有，则，解得， 甲、乙、丙三位同学围成一个圆，“甲乙丙”、“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一排列， 其中每一个排列可以拆成以任意一个人为排首的直线排列3个，3人围成一个圆的排列数为， 由此可得n个人围成一个圆的排列数为，5位同学围成一个圆的排列数为. 故选：A 例7．（2023·高二课时练习）8人围桌而坐，共有______种坐法. 【答案】5040 【解析】围桌而坐与坐成一排不同，围桌而坐没有首尾之分， 因此固定一人并从此位置把圆形展成直线，则其余7人共有 （种）排法. 故答案为：5040 例8．（2023·全国·高三专题练习）5个女孩与6个男孩围成一圈，任意2个女孩中间至少站1个男孩，则不同排法有______种（填数字）． 【答案】86400 【解析】因为任意2个女孩中间至少站1个男孩，则有且仅有2个男孩站在一起， 先把5个女孩排成一个圈，这是个圆形排列，因此排法共有(种)， 把6个男孩按2，1，1，1，1分成5组有种分法， 最后把5组男孩放入5个女孩构成圆排列的5个间隔中有种方法，而站在一起的两个男孩有顺序性，有2种站法， 所以，由分步乘法计数原理得，不同的排法共有(种). 故答案为：86400 例9．（2023·高二课时练习）10位男生10位女生．男女相间隔围成一圈，则其所有不同的排列数为______