专题17 构造法模型、递推模型与化归策略-2023年新高考数学题型全归纳之排列组合

专题17 构造法模型、递推模型与化归策略 【方法技巧与总结】 化归策略：处理复杂的排列组合问题时，可以把一个问题转化成一个简单的问题，通过解决这个简单的问题，从而找到解题方法，进一步解决原来的问题． 一些不易理解的排列组合题，如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型、排队模型、装盒模型等，可使问题迎刃而解． 【典型例题】 例1．（2023·重庆·校联考一模）将方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（    ） A．33 B．56 C．64 D．78 【答案】B 【解析】记分隔边的条数为，首先将方格表按图分成三个区域，如图： 分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，则， 其次证明：， 将方格表的行从上至下依次记为，列从左至右依次记为， 行中方格出现的颜色为，列中方格出现的颜色为， 三种颜色分别记为，对于一种颜色，设为含色方格的行数与列数之和， 定义当行含色方格时，，否则， 类似的定义， 所以 ， 由于染色的格的行有个，列有个，则色的方格一定在这行和列的交叉方格中，从而， 所以所以①， 由于在行中有种颜色的方格，于是至少有条分隔边， 类似地，在列中至少有条分隔边， 则 ② ③， 下面分两种情况讨论： 1、有一行或一列所有方格同色，不妨设为色，则方格表的33列中均含有色的方格，又色的方格有363个， 故至少有行含有色的方格，于是④， 由①③④得； 2、没有一行也没有一列所有方格同色，对任意均有，， 从而由②可得； 综上所述，分隔边条数的最小值为56. 故选：B 例2．（2023春·北京海淀·高二北大附中校考期末）几个孩子在一棵枯树上玩耍，他们均不慎失足下落．已知 （）甲在下落的过程中依次撞击到树枝，，； （）乙在下落的过程中依次撞击到树枝，，； （）丙在下落的过程中依次撞击到树枝，，； （）丁在下落的过程中依次撞击到树枝，，； （）戊在下落的过程中依次撞击到树枝，，． 倒霉的李华在下落的过程中撞到了从到的所有树枝，根据以上信息，在李华下落的过程中，和这根树枝不同的撞击次序有（    ）种． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可判断出树枝部分顺序，还剩下，，， 先看树枝在之前，有种可能，而树枝在之间，在之后， 若在之间，有种可能： ①若在之间，有种可能， ②若在之间，有种可能， ③若在之间，有种可能． 若不在之间，则有种可能，此时有种可能， 可能在之间，有种可能，可能在之间，有种可能， 综上共有． 故选：． 例3．（2023·全国·高三专题练习）几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E,则这九棵树枝从高到低不同的顺序共有（    ） A．23 B．24 C．32 D．33 【答案】D 【解析】不妨设代表树枝的高度，五根树枝从上至下共九个位置， 根据甲依次撞击到树枝；乙依次撞击到树枝；丙依次撞击到树枝；丁依次撞击到树枝；戊依次撞击到树枝可得， 在前四个位置，，，且一定排在后四个位置， （1）若排在前四个位置中的一个位置，前四个位置有4种排法，若第五个位置排C,则第六个位置一定排D，后三个位置共有3种排法，若第五个位置排D，则后四个位置共有4种排法，所以I排在前四个位置中的一个位置时，共有种排法； （2）若不排在前四个位置中的一个位置，则按顺序排在前四个位置，由于，所以后五个位置的排法就是H的不同排法，共5种排法，即若不排在前四个位置中的一个位置共有5种排法， 由分类计数原理可得，这9根树枝从高到低不同的次序有种. 故选：D. 例4．（2023秋·天津河东·高二统考期末）九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具.它用九个圆环相连成串，以解开为胜.它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载.周邦彦也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连环.”九连环有多种玩法，在某种玩法中:已知解下1个圆环最少需要移动圆环1次，解下2个圆环最少需要移动圆环 2 次，记 为解下个圆环需要移动圆环的最少次数，且，则解下 8 个圆环所需要移动圆环的最 少次数为（    ） A．30 B．90 C．170 D．341 【答案】C 【解析】由题，，所以. 故选.：C 例5．（2023秋·福建福州·高三统考期中）三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练，由丙开始传，经过次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（    ） A．4种 B．10种 C．12种