专题16 分解与合成模型和最短路径问题-2023年新高考数学题型全归纳之排列组合

专题16 分解与合成模型和最短路径问题 【方法技巧与总结】 分解与合成策略是复杂的排列组合问题最基本的解题策略之一，把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成，从而得到问题的答案． 【典型例题】 例1．（2023·全国·高三专题练习）有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？ A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解析】如图，①从入口﹣1﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口， ②从入口﹣1﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口， ③从入口﹣1﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口， ④从入口﹣1﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口， ⑤从入口﹣2﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口， ⑥从入口﹣2﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口， ⑦从入口﹣2﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口， ⑧从入口﹣2﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口， 共有8种， 故选：B． 例2．（2023·全国·高三专题练习）夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道，由于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开那段维修的路，如图，假设夏老师家在处，学校在处，段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校的最短路径有（    ）条． A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】D 【解析】由到的最短路径需要向右走四段路，向上走三段路，所以有条路， 由到的最短路径需要向右走两段路，向上走一段路，所以有条路， 由到的最短路径需要向右走一段路，向上走两段路，所以有条路， 所以由到不经过的最短路径有. 故选：D. 例3．（2023秋·广东惠州·高三校考期末）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（    ） A．23 条 B．24 条 C．25条 D．26 条 【答案】D 【解析】先假设是实线， 则从到，向上次，向右次，最短路径有条， 其中经过的，即先从到，然后到，最后到的最短路径有条， 所以，当不通时，最短路径有条. 故选：D 例4．（2023·全国·高三专题练习）方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体（由个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从点出发，沿着竹棍到达点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【解析】由题意可知，从到最少需要步完成，其中有步是横向的，步是纵向的，步是竖向的， 则蚂蚁选择的不同的最短路径共有种. 故选：D. 例5．（2023·全国·高三专题练习）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（    ） A．20条 B．21条 C．22条 D．23条 【答案】D 【解析】由题意知从A到的最短路径要通过7段马路，4段水平马路，3段竖直马路，共有种，又因为经过段的走法有种，故不经过段的最短路径有条., 故选:D 例6．（2023春·陕西延安·高二校考期末）某小区的道路网如图所示，则由A到C的最短路径中，经过B的走法有（    ） A．6种 B．8种 C．9种 D．10种 【答案】C 【解析】由题意，从点到点，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有种走法； 从点到点，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有种走法， 由分步计数原理，可得共有种不同的走法. 故选：C. 例7．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成的三面角. 18世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸. 令人惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是，所有的锐角都是. 后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度. 从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学家兼设计师”. 如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面. 图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第层（有条竖直线段）第通道（从左向右计）的不同路径数为. 例如：，. 则不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知，，且， 可推得，， 所以，即， 所以可能取到0