专题15 隔板法模型-2023年新高考数学题型全归纳之排列组合

专题15 隔板法模型 【方法技巧与总结】 将个相同的元素分成份（，为正整数），每份至少一个元素，可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中，共有种分法． 【典型例题】 例1．（2023·云南红河·统考三模）某校将个三好学生名额分配到高三年级的个班，每班至少个名额，则共有多少种不同的分配方案（    ） A．15 B．20 C．10 D．30 【答案】C 【解析】采用“隔板法”，6个名额之间有5个空，隔2块板就可以分成3份，每份至少一个名额，故共有种方案. 故选：. 例2．（2023·全国·校联考模拟预测）学校决定把个参观航天博物馆的名额给三（1）､三（2）､三（3）､三（4）四个班级.要求每个班分别的名额不比班级序号少，即三（1）班至少个名额，三（2）班至少个名额，……，则分配方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【解析】根据题意，先在编号为､､的个班级中分别分配､､个名额， 编号为的班级里不分配；再将剩下的个名额分配个班级里，每个班级里至少一个， 由隔板法可得共种放法，即可得符合题目要求的方法共种. 故选：B. 例3．（2023·高二课时练习）现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同放法的种数是（    ） A．28 B．24 C．18 D．16 【答案】C 【解析】把9个球分成3组，每组个数不相同，分法（按球的个数）为：126，135，234共三种，然后每组球放到3个盒子中有种方法，方法数为． 故选：C． 例4．（2023春·江苏苏州·高二吴县中学校考期中）学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（    ）种分配方案． A．135 B．10 C．75 D．120 【答案】B 【解析】“学生名额”是相同元素，故相同元素分配分组问题，用“隔板法”， 故有， 故选：B. 例5．（2023春·全国·高二期末）方程的正整数解共有（    ）组 A．165 B．120 C．38 D．35 【答案】A 【解析】如图，将12个完全相同的球排成一列， 在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是、、、，显然满足，故是方程的一组解， 反之，方程的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式， 故方程的正整数解的数目为：， 故选：A. 例6．（2023秋·山西晋城·高三校考阶段练习）有10个运动员名额分给7个班，每班至少一个名额，共有______种分配方案. 【答案】84 【解析】10个名额没有差别，把它们看成是10个圆圈排成一排，相邻圆圈之间形成9个空隙. 在9个空隙中选6个空隙放入6个隔板，即可把圆圈（名额）分成7份， 对应分给7个班级，即可达到题意要求. 每一种插板的放置方法对应一种分法，共有种分法. 故答案为：84 例7．（2023·全国·高三专题练习）现有15个省三好学生名额分给1、2、3、4共四个班级，其中1班至少2个名额，2班、4班每班至少3个名额，3班最多2个名额，则共有_________种不同分配方案. 【答案】85 【解析】由3班最多2个名额，3班有2、或1个，或0个名额三种情况. （1）、当3班有2个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的8个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额. 相当于将8个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有种分法. （2）、当3班有1个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的9个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额. 相当于将9个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有种分法. （3）、当3班没有分得名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的10个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额. 相当于将10个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有种分法. 所以一共有种不同的分配方案. 故答案为：85. 例8．（2023春·广东汕头·高二校考期中）6个志愿者的名额分给3个班，每班至少一个名额，则有_________ 种不同的分配方法.（用数字回答）. 【答案】10 【解析】6个志愿者的名额分配给3个班，每班至少一个名额，采用隔板法可知，即从5个空中插入2个隔板，共有种不同分法． 故答案为：10． 例9．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）泗县一中举行“建党周年朗诵比赛”，学校给了高二个文科班个参赛名额，要求每班至少一个同学参加比赛，则共有___________种不同的分配方案. 【答案】 【解析】问题等价