专题14 分组与分配问题-2023年新高考数学题型全归纳之排列组合

专题14 分组与分配问题 【方法技巧与总结】 分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别.一般地，平均分成堆（组）必须除以；如果有堆（组）元素个数相同，必须除以. 【典型例题】 例1．（2023·全国·高三专题练习）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（    ） A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法； B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法； C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法； D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法； 【答案】D 【解析】选项A，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有种分配方法，故该选项错误； 选项B，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，先将6本书分成4-1-1的3组，再将三组分给甲乙丙三人，有种分配方法，故该选项错误； 选项C，6本不同的书分给甲乙每人各2本，有种方法，其余分给丙丁每人各1本，有种方法，所以不同的分配方法有种，故该选项错误； 选项D，先将6本书分为2-2-1-1的4组，再将4组分给甲乙丙丁4人，有种方法，故该选项正确. 故选：D. 例2．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考开学考试）将6名实习教师分配到3所学校进行培调，每名实习教师只能分配到1个学校，每个学校至少分配1名实习教师，则不同的分配方案共有（    ） A．240种 B．360种 C．450种 D．540种 【答案】D 【解析】由题知， 6名教师分3组，有3种分法，即1，2，3；1，1，4；2，2，2， 共有种分法， 再分配给3所学校，可得种. 故选：D. 例3．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）某社区为了做好疫情防控工作，安排6名志愿者进行核酸检测，需要完成队伍组织､信息录人､采集核酸三项任务，每项任务至少安排一人但至多三人，则不同的安排方法有（    ） A．450种 B．72种 C．90种 D．360种 【答案】A 【解析】6名志愿者分成三组，每组至少一人至多三人， 可分两种情况考虑： 第一种：人数为的三组，共有种； 第二种：人数为的三组，共有种. 所以不同的安排方法共有种， 故选：. 例4．（2023·陕西铜川·校考一模）将4名新招聘的工人分配到A，B两个生产车间，每个车间至少安排1名工人，则不同安排方案有（    ） A．36种 B．14种 C．22种 D．8种 【答案】B 【解析】将4名工人，安排到两个车间：分为其中一个车间安排1名工人，另一车间安排3名工人和两个车间都安排两名工人，两种情况. 其中一个车间安排1名工人，另一车间安排3名工人的方案有：； 两个车间都安排两名工人的方案有：. 所以，不同的安排方案有. 故选：B. 例5．（2023秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考期末）某班开展阅读比赛，老师选择了5本不同的课外书，要求每位同学在3天内阅读完这5本课外书，每天至少选一本阅读，选择的课外书当天需阅读完，则不同的选择方式有（    ） A．540种 B．300种 C．210种 D．150种 【答案】D 【解析】先将每天读书的本数分组，有和两种分组方案， 当按分组时，有种方法， 当按按分组时，有种方法， 所以不同的选择方式有种. 故选：D. 例6．（2023秋·山东潍坊·高二统考期末）某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加A，B，C三个企业的调研工作，每个企业去2人，且甲去B企业，乙不去C企业，则不同的派遣方案共有（    ） A．42种 B．30种 C．24种 D．18种 【答案】D 【解析】若甲乙去同一企业，则甲乙只能去B企业，剩下的4人平均分去两个企业，共有种； 若甲乙不去同一企业，分两步，第一步：先给甲乙两人选同伴，有种， 第二步：将这三组分去三个企业，因为甲去B企业，乙不去C企业，所以共有1种分法，由分步乘法计数原理可得：共有种； 所以不同的派遣方案共有种， 故选：. 例7．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）将5名学生志愿者分配到成语大赛、诗词大会、青春歌会、爱心义卖4个项目参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 【答案】C 【解析】根据题意，分2步进行分析： ①将5名大学生分为4组，有种分组方法， ②将分好的4组安排参加4个项目参加志愿活动，有种情况， 则有种分配方案； 故选：． 例8．（2023·重庆·统考一模）2022年8月某市组织应急处置山火救援行动，现从组织好的5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，另外4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”