专题12 插空法模型-2023年新高考数学题型全归纳之排列组合

专题12 插空法模型 【方法技巧与总结】 插空法：解决不相邻问题的方法为“插空法”，即将n个不同的元素排成一排，其中k个元素互不相邻（）．求不同的排法种数的步骤：①先将不作不相邻要求的元素共个排成一排，其排列方法有种；②然后将要求两两不相邻的k个元素插入个空隙中，相当于从个空隙中选出k个，分别分配给两两不相邻的k个元素，其排列方法有：种；③根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有种． 【典型例题】 例1．（2023秋·甘肃庆阳·高二校考期末）五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（    ） A．12种 B．48种 C．72种 D．120种 【答案】C 【解析】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节，方法数为. 故选：C． 例2．（2023秋·福建龙岩·高二统考期末）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则（    ） A．从六门课程中选两门的不同选法共有30种 B．课程“书”不排在第三天的不同排法共有720种 C．课程“礼”、“数”排在不相邻两天的不同排法共有288种 D．课程“乐”、“射”、“御”排在不都相邻的三天的不同排法共有576种 【答案】D 【解析】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有(种)，A选项不正确； 对于B，除第三天外的5天中任取1天排“书”，再排其他五门体验课程共有(种)，B选项不正确； 对于C，“礼”“数”排在不相邻两天，先排其余四门课程，再用插空法排入“礼”“数” 则不同排法共有(种)，C选项不正确； 对于D，六门课程的全排列有(种)，“乐”、“射”、“御”排在都相邻的三天的不同排法有(种)，则“乐”、“射”、“御”排在不都相邻的三天的不同排法共有(种)，D选项正确. 故选：D 例3．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（    ）种排法？ A．72 B．36 C．24 D．12 【答案】A 【解析】先排三个唱歌节目这有：种情况， 然后四个空排两个舞蹈节目这有：种情况， 所以舞蹈节目不能相邻的情况有：情况. 故选：A. 例4．（2023秋·浙江·高二浙江省江山中学校联考期末）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前5位数字3，1，4，1，5进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（    ） A．24个 B．36个 C．72个 D．60个 【答案】B 【解析】分两步： 第一步：先对除1以外的3位数字进行全排列，有种方法； 第二步：将两个1选两个空插进去有， 由分步计数原理可得：小明可以设置的不同密码有种， 故选： 例5．（2023秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考期末）《红楼梦》是中国古代章回体长篇小说，中国古典四大名著之一，《红楼梦》第三十七回贾探春提议邀集大观园中有文采的人组成海棠诗社．诗社成立目的旨在“宴集诗人於风庭月榭；醉飞吟盏於帘杏溪桃，作诗吟辞以显大观园众姊妹之文采不让桃李须眉．”诗社成员有8人：林黛玉、薛宝钗、史湘云、贾迎春、贾探春、贾惜春、贾宝玉及李纨，若这8人排成一排进人大观园，且林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人不相邻，则不同的排法种数有（    ） A．1440 B．2400 C．14400 D．86400 【答案】C 【解析】不相邻问题用插空法，先将其他5人排好，有种不同的排法，再将林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人排入其他5人隔开的6个空中，有种不同的排法，所以有（种）不同的排法. 故选：C 例6．（2023·全国·高三专题练习）“四书” “五经”是我国部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先排除去《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座， 共有种排法，将《大学》《论语》看作一个元素，二者内部全排列有种排法， 排完的6部经典名著的讲座后可以认为它们之间包括两头有7个空位， 从7个空位中选2个，排《大学》《论语》捆绑成的一个元素和《周易》的讲座，有种排法， 故总共有种排法， 故选：C. 例7．（2023·全国·高