专题07 三点共线与四点共面充要条件-【二级结论速解】备战2023年高考数学高效速解突破技巧

专题07 三点共线与四点共面充要条件 一、结论 1、平面向量三点共线问题： 设平面上三点,,不共线,则平面上任意一点与,共线的充要条件是存在实数与 ,使得,且.特别地,当为线段的中点时,. 2、空间中四点共面问题: 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 拓展: 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 二、典型例题 例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知中，点为线段（不包括端点）上任意一点，且实数，满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D． 例题2．（2023·全国·高三专题练习）在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是（    ） A． B． C．6 D．12 例题3．（2022秋·北京·高二人大附中校考期中）已知、、、为空间中不共面的四点，且，若、、、四点共面，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 例题4．（2022秋·北京·高二人大附中校考期末）空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 三、针对训练 举一反三 一、单选题 1．（2023秋·山东枣庄·高三统考期末）已知为线段上的任意一点，为直线外一点，关于点的对称点为，若，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（2023·全国·高三专题练习）已知A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与所在直线分别交于点，，满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高三专题练习）在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．4 D．2 5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的的最小值是（    ） A．4 B． C． D．2 6．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）设向量不共面，空间一点满足，则四点共面的一组数对是（    ） A． B． C． D． 7．（2023秋·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期末）已知点D在确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 8．（2022春·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知O为空间任意一点，A、B、C、P满足任意三点不共线，但四点共面，且，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 二、多选题 9．（2022秋·湖北孝感·高二应城市第一高级中学校考阶段练习）已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 三、填空题 10．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为____________. 11．（2022秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知 三点不共线，O为平面外一点，若向量，且点P与共面，则实数______． 12．（2022秋·黑龙江黑河·高二校联考期末）已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______. 四、解答题 13．（2023秋·北京昌平·高一统考期末）如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 14．（2023·高一课时练习）已知中，，为角平分线． （1）求 的长度； （2）过点作直线交的延长线于不同两点，且满足，，求的值，并说明理由． 15．（2023·高一单元测试）（Ⅰ）如图1，是平面内的三个点，且与不重合，是平面内任意一点，若点在直线上，试证明：存在实数，使得：. （Ⅱ）如图2,设为的重心,过点且与、（或其延长线）分别交于点，若，，试探究：的值是否为定值，若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由. 16．（2022春·江西宜春·高一校考期末）如图，在中，为边的中线，，过点作直线分别交边，于点，，且，，其中， (1)当，用，线性表示； (2)证明：为定值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 三点共线与四点共面充要条件 一、结论 1、平面向量三点共线问题： 设平面上三点,,不共线,则平面上任意一点与,共线的充要条件是存在实数与 ,使得,且.特别地,