专题06 经典（超越）不等式-【二级结论速解】备战2023年高考数学高效速解突破技巧

专题07 经典（超越）不等式 一、结论 (1)对数形式:,当且仅当时,等号成立. (2)指数形式:,当且仅当时,等号成立. 进一步可得到一组不等式链：（且） 上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数： ； ； 截取片段： ，当且仅当时,等号成立； 进而：当且仅当时,等号成立 二、典型例题 例题1．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 (1)证明：； (2)证明：． 三、针对训练 举一反三 一、单选题 1．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）设，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023秋·江苏苏州·高三常熟中学校考期末），，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·云南曲靖·统考一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·高三专题练习）已知 则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c满足，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·全国·高三专题练习）若正实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知成等比数列，且．若，则 A． B． C． D． 二、填空题 9．（2022春·广东佛山·高二佛山市顺德区容山中学校考期中）已知对任意x，都有，则实数a的取值范围是______. 三、解答题 10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数. (1)若函数f(x)的图象与直线y＝x－1相切，求a的值； (2)若a≤2，证明f(x)>ln x. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 经典（超越）不等式 一、结论 (1)对数形式:,当且仅当时,等号成立. (2)指数形式:,当且仅当时,等号成立. 进一步可得到一组不等式链：（且） 上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数： ； ； 截取片段： ，当且仅当时,等号成立； 进而：当且仅当时,等号成立 二、典型例题 例题1．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ，则，故函数在单调递减，单调递增，则 则，即 由，∴，故 同理可证 又，∴，则 故选：C. 【反思】对于指数形式:,当且仅当时,等号成立，该不等式是可以变形使用的： 注意使用时的取值范围； 同样的还可以如下处理：两边同时取对数：，同样可以变形使用： ； 注意使用时的取值范围. 另外，选择填空题中，涉及到超越不等式可以直接使用，但是注意，解答题中一定要先证后用. 例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 (1)证明：； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）， 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所的最小值为，所以. （2）由（1）知，当时，，即， 即，即， 令，得， 所以 ， 故． 【反思】注意在解答题中，等超越不等式，及其变形式，不能直接使用，需要证明后才可以使用，才可以进一步变形得到有利于解题的不等式. 三、针对训练 举一反三 一、单选题 1．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，在时，，在时，， 所以，即，所以对任意均成立.取， 有，所以. 再取，可得，两边取倒数，即， 所以， 又当时，设，，则， ，即和在均递增， 所以，，即时，，所以 ， 由在单调递增，可得，即. 故选：B 2．（2023秋·江苏苏州·高三常熟中学校考期末），，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令 则，显然 即单调递减，所以，即，. 令 则，即在上单调递增 所以，即， 所以 令 则 当时，，即在上单调递增 又，所以当时， 所以，即 即， 又，所以，即. 综上：. 故选：C. 3．（2023·云南曲靖·统考一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令， 则，， ∵， ∴当时，，单调递增， ∴，即， 令，则， ∴当时，，单调递增， ∴，即， 所以，即． 综上，． 故选：D． 4．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当，又，所以，故 记，所以， 令，得，令，得， 所以在单调递减，在单调递增. 所以，即，当时取等号. 所以， 所以. 故选：C. 5．（2023·全国·高三专题练习）已知 则下列不等式