专题05 函数周期性，对称性，奇偶性问题-【二级结论速解】备战2023年高考数学高效速解突破技巧

专题05 函数周期性，对称性，奇偶性问题 一、结论（同号周期，异号对称.） 1、周期性： 已知定义在上的函数,若对任意,总存在非零常数,使得,则称是周期函数,为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下: (1)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期 (2)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期. (3)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期. (4)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期. (5)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期. (6)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期. 2、对称性： 已知函数是定义在上的函数. （1）轴对称：若恒成立,则的图象关于直线对称,特别地,若恒成立,则的图象关于直线对称; 最常逆应用：若关于对称：可得到如下结论中任意一个：； 周期性与对称性记忆口诀：同号周期，异号对称. （2）点对称：若,则的图象关于点对称. 特别地,若恒成立,则的图象关于点对称. 特别地,若恒成立,则的图象关于点对称. 最常逆应用：若关于对称：可得到如下结论中任意一个： 二、典型例题 例题1．（2023秋·广东·高二校联考期末）已知定义在上的函数满足：，且在内单调递增，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（2022春·贵州遵义·高一统考期末）对，函数满足，.当时.设，，，则，，的大小关系为______. 三、针对训练 举一反三 1．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知定义在R上的奇函数，满足，且当时，，则（    ） A．6 B．3 C．0 D． 2．（2023·河南郑州·统考一模）已知函数定义域为，为偶函数，为奇函数，且满足，则（    ） A． B．0 C．2 D．2023 3．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）若函数的定义域为，且是偶函数，关于点成中心对称，则函数的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 4．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数.记函数，则（    ） A．25 B．27 C．29 D．31 二、多选题 5．（2023秋·湖南永州·高一统考期末）已知定义在上的奇函数满足，若，则（    ） A．4为的一个周期 B．的图象关于直线对称 C． D． 三、填空题 6．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则_________ 7．（2023春·安徽·高一淮北一中校联考开学考试）设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则函数在上所有零点之和为__________． 8．（2023秋·湖南娄底·高一校考期末）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且，则__________． 9．（2023·全国·高三专题练习）对，函数满足，.当时，.设，，，则，，的大小关系为____________. 10．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数满足，，当时，，则___________. 11．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，当时，，则方程有___________个根. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数周期性，对称性，奇偶性问题 一、结论（同号周期，异号对称.） 1、周期性： 已知定义在上的函数,若对任意,总存在非零常数,使得,则称是周期函数,为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下: (1)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期 (2)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期. (3)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期. (4)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期. (5)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期. (6)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期. 2、对称性： 已知函数是定义在上的函数. （1）轴对称：若恒成立,则的图象关于直线对称,特别地,若恒成立,则的图象关于直线对称; 最常逆应用：若关于对称：可得到如下结论中任意一个：； 周期性与对称性记忆口诀：同号周期，异号对称. （2）点对称：若,则的图象关于点对称. 特别地,若恒成立,则的图象关于点对称. 特别地,若恒成立,则的图象关于点对称. 最常逆应用：若关于对称：可得到如下结论中任意一个： 二、典型例题 例题1．（2023秋·广东·高二校联考期末）已知定义在上的函数满足：，且在内单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，函数满足，， 则有，变形可得， 则有，即函数是周期为4的周期函数， 对称轴为，在内单调递增，所以在内单调递减，，，， ，即. 故选：. 【反思】奇偶性，周期性，对称性问题，