专题04 指数函数与对数函数互为反函数-【二级结论速解】备战2023年高考数学高效速解突破技巧

专题04 指数函数与对数函数互为反函数 一、结论 若函数是定义在非空数集上的单调函数，则存在反函数.特别地，与 （且）互为反函数. 在同一直角坐标系内，两函数互为反函数图象关于对称，即与分别在函数与反函数的图象上. 若方程的根为，方程的根为，那么. 二、典型例题 例题1．（2022·高三课时练习）若关于的方程与的根分别为、，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例题2．（2022春·河南新乡·高二封丘一中校考期末）已知是方程的根，是方程的根，则（    ） A． B． C． D． 三、针对训练 举一反三 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）若满足，满足，则等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2022·陕西咸阳·校考模拟预测）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2020秋·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）若，设函数的零点为，零点为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高三专题练习）已知是方程的解，是方程的解，则（    ） A． B． C． D． 5．（2020秋·高一课时练习）关于的方程，的根分别为，，则的值为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2022·全国·高三专题练习）设分别是方程和的根，则的最小值是（         ） A． B． C． D． 7．（2017秋·山西太原·高一山西实验中学校考期中）若满足满足,则（    ） A． B． C． D． 8．（2022秋·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第三高级中学校考期末）已知三个函数，，的零点依次为、、，则 A． B． C． D． 9．（2020·高一课时练习）若是方程的解，是方程的解，则等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）设方程的解为，方程的解为，则___________． 11．（2022春·湖南·高一校联考阶段练习）已知函数，，若，则________. 12．（2021秋·陕西安康·高一统考期中）若实数、满足，，则____________． 13．（2022·上海·高一专题练习）设方程的解为，的解为，则_____________. 14．（2019·浙江宁波·高一校联考期中）若是方程的根，是方程的根，则__________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数与对数函数互为反函数 一、结论 若函数是定义在非空数集上的单调函数，则存在反函数.特别地，与 （且）互为反函数. 在同一直角坐标系内，两函数互为反函数图象关于对称，即与分别在函数与反函数的图象上. 若方程的根为，方程的根为，那么. 二、典型例题 例题1．（2022·高三课时练习）若关于的方程与的根分别为、，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：由题意，可知，，作出函数，，的图像（如图）， A、B两点的横坐标分别为m、n，且A、B关于直线对称，AB的中点为C，联立可得点C的横坐标为2，因此． 故选：C. 【反思】本题也可直接利用结论解题：若方程的根为，方程的根为，那么.在本例中，记，则，这样利用结论，可快速得到：。 例题2．（2022春·河南新乡·高二封丘一中校考期末）已知是方程的根，是方程的根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】方程可变形为，方程可变形为， 所以，是与的图象的交点横坐标，是与的图象的交点横坐标， 因为与互为反函数，这两个函数的图象关于直线对称， 在函数图象上任取一点，该点关于直线的对称点的坐标为， 由可得，则点也在函数的图象上， 故函数的图象关于直线对称， 所以，点与点关于直线对称，所以，故. 故选：D. 【反思】本题主要考查反函数的性质，在上，则在上，结合图形的对称性，从而得到结论. 三、针对训练 举一反三 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）若满足，满足，则等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】由题意，故有 故和是直线和曲线、曲线交点的横坐标. 根据函数和函数互为反函数，它们的图象关于直线对称， 故曲线和曲线的图象交点关于直线对称. 即点（x1，5﹣x1）和点（x2，5﹣x2）构成的线段的中点在直线y=x上， 即，求得x1+x2=5， 故选：D. 2．（2022·陕西咸阳·校考模拟预测）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知可得，所以，， 所以，为直线与曲线的交点的横坐标， ，则， 则为直线与曲线的交点的横坐标，如下图所示：