专题12 容斥问题（春季培优讲义）--四年级下册奥数精讲精练（通用版）

小学四年级数学下册奥数通用版 容斥问题习题及答案 知识点总结： 容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na＋Nb－Nab。 ( N ab ) ( N b ) ( Na ) 【经典例题1】 空军突击队共有 25 名士兵,每个人都擅长射击和武术中的一项或者两项。如果士兵中擅长射击的有 20 人,擅长武术的有 12 人。则两项均擅长的士兵有多少人? 【思路分析】 擅长射击的人数与擅长武术的人数之和为 20+12=32(人),大于空军突击队总人数 25 人,出现这种情况的原因是两项均擅长的人数被计算了两次，即多算了一次。所以,两项均擅长的人数有 32-25=7(人) 射击20人 武术12人 ？人 25人 【本题解答】 20+12-25=7（人） 答：两项均擅长的士兵有7人。 【扩展训练】 1、动物王国里有一个奇怪的猫村，已知猫村有60只猫咪，其中有漂亮尾巴的27只，漂亮毛色的45只。所有猫毛色或尾巴至少一项都有的有60只，那么两样都漂亮的有多少只？ 2、佳佳是以为国旗爱好者，他从全世界193个国家的国旗中，挑出了43面带星星图案或带月亮图案的国旗，发现其中将星展图案的国 能有34面。带月亮图案的国旗有18面。 那么,既带星星图案又带月亮图案的国旗有多少面? 3、学校成立“滑滑社团”,要求必须至少会滑冰、滑雪中的一项,才有资格成为的人团员。已知有 2015 名符合上述要求的人前来报名,其中不会滑冰的有406 人,不会滑雪的有 460 人。那么,其中两种运动都组会的有多少人? 【经典例题2】 某班 30 名同学中,有17人参加音乐小组,有12人参加美术小组,既参加音乐小组又参加美术小组的有7人,那么既不参加音乐小组又不参加美术小组的有多少人? 【思路分析】如下图所示。 音乐小组17人 美术小组12人 30人 ( ？人 ) 两个小组都参加的有7人 【本题解答】 至少参加一个小组的人数:17+12-7=22(人) 既不参加音乐小组又不参加美术小组的人数:30-22=8(人) 答:既不参加音乐小组又不参加美术小组的有8人。 【扩展训练】 1、一个班有52人,班主任在班会上问:“谁做完了语文作业?请举手!”有 32 人举手；又问:“谁做完了数学作业?请举手!”有 35 人举手；最后说:“谁语文、数学作业都做完了?”有20人举手。那么这个班语文、数学作业都没有做完的有___人。 2、某班有40名学生，其中15人参加数学兴趣小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加，那么该班学生中，这两个小组都不 参加的共有多少人？ 3、五(2)日有学生40人,对数学有兴趣的有17人,对音乐有兴趣的有 13人,对两样都有兴趣的有8人，对两样都没兴趣的有多少人？ 【经典例题3】 班里有35 名同学,其中 19 人参加了语文兴趣小组，21人参加了数学兴趣小组，10 人两个小组都没参加。那么两个兴趣小组都参加的有多少人？ 【思路分析】 【思路点拨】从下图可以看出,要求两个兴趣小组都参加的人数,应先求出至少参加一个兴趣小组的人数:35-10=25(人),再求两个兴趣小组都参加的人数:19+21-25=15(人)。 语文19人 数学21人 ( ？人 ) 35人 两个小组都没参加的有10人 【本题解答】 至少参加一个兴趣小组的人数：35-10=25(人) 两个兴趣小组都参加的人数：19+21-25=15(人) 答:两个兴趣小组都参加的有15人。 【扩展训练】 1、有 40 名运动员,其中 25人会摔跤,有 20人会击剑,有10人击剑、摔跤都不会,那么既会摔跤又会击剑的运动员有多少人？ 2、学校选出一批优秀的学生参加作文比赛和数学比赛,结果7人两项比赛都获奖了,有 12 人两项比