第1章 微专题3 必备素养(模型观念)含角平分线的截长补短（课件PPT）-【思而优·全程突破】2023春八年级下册初二数学同步导学案（北师大版）

八年级数学(北师)下册 使用软件 本课件由WPS Office制作，建议老师选择对应软件打开。课件页面宽高比为16:9。 便捷操作 优质服务 关于课件使用及获取更多优质课件、名校试卷时政热点等，请扫下方码加入教学教研。 本课件全文可单击进行编辑修改。课件中的目录、返回目录等均有超链接，点击即可跳转至相应页面。 课件使用说明 第十一章　三角形 微专题3　必备素养(模型观念)含角平分线的截长补短 第一章　三角形的证明 结构特点：已知角平分线，证明线段和差或者角度关系问题． 　 处理策略：在角两边截取相等的线段，特殊的时候会做垂线，这就是常见的截长补短法来构造全等．　　 返回首页 微专题3 必备素养(模型观念)含角平分线的截长补短 【截长法】在较长的线段上截一条线段等于较短线段，然后再证明剩余的线段与另一段线段相等. 【补短法】延长较短线段与较长线段相等，然后证延长的部分等于另一条线段． 微专题3 必备素养(模型观念)含角平分线的截长补短 返回首页 1.【例】已知：如图，在等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是角平分线，交BC边于点D.求证：AC＝AB＋BD. 微专题3 必备素养(模型观念)含角平分线的截长补短 返回首页 证明：如图，在AC上截取AE＝AB，连接DE， ∵AD是角平分线，∴∠BAD＝∠EAD. 在△ADB和△ADE中， AB＝AE， ∠BAD＝∠EAD， AD＝AD， ∴△ADB≌△ADE(SAS)， ∴∠AED＝∠B＝90°，DE＝DB. 又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠C＝45°， ∴△DEC是等腰直角三角形，∴DE＝EC， ∴AC＝AE＋EC＝AB＋BD. 2.如图，已知在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是△ABC的角平分线． 求证：AC＝AB＋BD. 微专题3 必备素养(模型观念)含角平分线的截长补短 返回首页 证明：如图，延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF， ∵AD是△ABC的角平分线，∴∠FAD＝∠CAD. 在△FAD和△CAD中， AF＝AC， ∠FAD＝∠CAD， AD＝AD， ∴△FAD≌△CAD(SAS)，∴∠C＝∠F. ∵∠ABC＝2∠C，∠ABC＝∠F＋∠BDF， ∴∠F＝∠BDF，∴BD＝BF， ∴AC＝AF＝AB＋BD. 3.如图，AD∥BC，∠1＝∠2，∠3＝∠4，直线DC过点E交AD于点D，交BC于点C.求证：AD＋BC＝AB. 微专题3 必备素养(模型观念)含角平分线的截长补短 返回首页 证明：如图，在线段AB上截取AF＝AD，连接EF， AD＝AF， 在△ADE与△AFE中， ∠1＝∠2， AE＝AE， ∴△ADE≌△AFE(SAS)，∴∠D＝∠AFE. 由AD∥CB又可得∠C＋∠D＝180°， ∴∠AFE＋∠C＝180°. 又∵∠BFE＋∠AFE＝180°，∴∠C＝∠BFE. ∠C＝∠BFE， 在△CBE与△FBE中， ∠4＝∠3， BE＝BE， ∴△CBE≌△FBE(AAS)．∴BF＝BC. ∵AB＝AF＋BF，∴AB＝AD＋BC. 4.(一题多解)如图所示，已知在四边形ABCD中，BD是∠ABC的平分线，AD＝CD. 求证：∠A＋∠C＝180°. 微专题3 必备素养(模型观念)含角平分线的截长补短 返回首页 证明：方法1：截长法，如图，在BC上截取BE， 使BE＝AB，连接DE， ∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBE. 在△ABD和△EBD中， AB＝EB， ∠ABD＝∠EBD， BD＝BD， ∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠A＝∠BED，AD＝DE. ∵AD＝CD，∴DE＝DC，∴∠C＝∠DEC. ∵∠BED＋∠DEC＝180°，∴∠A＋∠C＝180°； 微专题3 必备素养(模型观念)含角平分线的截长补短 返回首页 方法2：补短法，如图，延长BA至点E，使BE＝BC，连接DE. ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠DBC. 在△EBD和△CBD中， BE＝BC, ∠EBD＝∠CBD, BD＝BD, ∴△EBD≌△CBD(SAS)， ∴∠E＝∠C，DC＝DE. ∵AD＝CD， ∴DE＝AD， ∴∠E＝∠EAD. ∵∠EAD＋∠BAD＝180°， ∴∠BAD＋∠C＝180