专题05 平面向量与复数-2023年新高考数学考前提分锦囊

专题五 平面向量与复数 一、考情分析 平面向量与复数均是高考必考知识点,平面向量常作为客观题考查,难度可以是容易题,也可以是中等或中等以上难度题,考查热点是向量的线性运算、数量积及坐标运算,有时也会把向量与解析几何等知识点交汇考查,命题形式一般是把题中某些条件用向量形式给出；复数常作为客观题考查,一般为容易题,考查热点是复数的概念与运算. 二、三年新高考真题展示 1.（2020新高考山东卷）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则 的取值范用是（ ） A. B. C. D. 2.（2020新高考山东卷）（ ） A. 1 B. −1 C. i D. −i 3．（2021新高考全国卷Ⅰ）已知为坐标原点,点,,,,,则　　 A． B． C． D． 4．（2021新高考全国卷Ⅰ）已知,则　　 A． B． C． D． 5. （2021新高考全国卷Ⅱ）已知向量,,,_______． 6. （2021新高考全国卷Ⅱ）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7.（2022新高考全国卷Ⅰ）.在中,点D在边AB上,．记,则 A. B. C. D. 8. （2022新高考全国卷Ⅰ）若,则 A. B. C. 1 D. 2 9. （2022新高考全国卷Ⅱ）已知向量,若,则 A. B. C. 5 D. 6 10. （2022新高考全国卷Ⅱ） A. B. C. D. 三、知识、方法、技能 1.向量运算问题的两大处理思路 向量运算包括几何运算和坐标运算.利用几何运算就是充分利用加法和减法的几何含义,以及一些具有几何含义的式子,进行化简、转化向量的计算.利用坐标运算,实际上就是转化为代数问题,即向量问题坐标化. 树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几何问题,特别是处理向量的相关位置关系时,要正确运用共线向量和平面向量的基本定理,去计算向量的模、两点的距离等.由于向量作为工具,它往往会与三角函数、数列、不等式、解析几何等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点. 2．向量的运算： （1）几何运算： ①向量加法：利用“平行四边形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量,如此之外,向量加法还可利用“三角形法则”：设,那么向量叫做与的和,即； ②向量的减法：用“三角形法则”：设,由减向量的终点指向被减向量的终点.注意：此处减向量与被减向量的起点相同. （2）坐标运算：设,则： ①向量的加减法运算：,. ②实数与向量的积：. ③若,则,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. ④平面向量数量积：. ⑤向量的模：. 3.在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理选好基底,变形要有方向不能盲目转化． 4.在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”,结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”,结果向量的方向是指向被减向量．如,. 5.对于平面向量的线性运算问题,要尽可能转化到三角形或平行四边形中,灵活运用三角形法则、平行四边形法则,紧密结合图形的几何性质进行运算． 6.在证明两向量平行时,若已知两向量的坐标形式,常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的,常利用共线向量定理(当b≠0时,a∥b⇔存在唯一实数λ,使得a＝λb)来判断． 7.证明三点共线问题,可用向量共线解决,A,B,C三点共线等价于与共线,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线． 利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量． 8. 平面向量的数量积 （1）两个向量的夹角：对于非零向量,,作, 称为向量,的夹角,当＝0时,,同向,当＝时,,反向,当＝时,,垂直. （2）平面向量的数量积：如果两个非零向量,,它们的夹角为,我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积）,记作：,即＝.规定：零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量. （3）向量数量积的性质：设两个非零向量,,其夹角为,则： ①； ②当,同向时,＝,特别地,；当与反向时,＝－；当为锐角时,＞0,且不同向,是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时,＜0,且不反向,是为钝角的必要非充分条件； ③非零向量,夹角的计算公式：