7.3.4正切函数的性质与图像-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第三册）

专题7.3.4正切函数的性质与图像 题型1 正切函数的图象的画法 2 题型2 正切函数的定义域与不等式 4 ◆类型1定义域问题 4 ◆类型2正切型函数不等式问题 4 题型3 正切函数与零点问题 5 题型4 正切函数的周期性 6 题型5 正切函数的奇偶性 8 题型6 正切函数的对称中心 9 题型7 正切函数比较大小 10 题型8 正切函数的单调性 11 题型9 正切函数的值域 13 ◆类型1正切型函数的值域 13 ◆类型2复合函数的值域 13 ◆类型3含参问题 13 知识点一.正切函数的定义 定义：对于任意一个角x，只要就有唯一确定的正切值 tanx与之对应，因此y=tanx是一个函数，称之为正切函数。， 知识点二.正切函数的图象 正切函数，且的图象，称“正切曲线” 知识点三.函数y＝tan x的图象与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在每个开区间(k∈Z)上都是增函数 对称性 对称中心(k∈Z) 知识点四.正切型函数的性质 1．定义域：将“”视为一个“整体”．令解得． 2. 值域： 3．单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围． 要点诠释：若，一般先用诱导公式化为，使的系数为正值，然后求单调区间． 4．奇偶性：当时为奇函数，否则，不具备奇偶性． 5．周期：最小正周期为． 题型1 正切函数的图象的画法 【方法总结】“三点两线法”作正切曲线的简图 (1)“三点”分别为，(kπ，0)，，其中k∈Z；两线分别为直线x＝kπ－和直线x＝kπ＋，其中k∈Z.(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)． (2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可． 【例题1】我们能用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图，类似地你能画出正切函数y＝tan x，x∈的简图吗？ 【变式1-1】1.画出下列函数的见图：（1），； （2）；（3）的图象；（4）. 【变式1-1】2.函数y＝tan在一个周期内的图象是(　　) 【变式1-1】3.函数 在 ，)上的大致图象依次是下图中的(　　) A.①②③④ B.②①③④ C.①②④③ D.②①④③ 【变式1-1】4.函数在区间上的大致图像是 （ ） 题型2 正切函数的定义域与不等式 【方法总结】解正切不等式方法 ①图像法，即先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合 ②三角函数线法，则是先在单位圈中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要特别注意函数的定义域 ◆类型1定义域问题 【例题2-1】求下列函数的定义域：（1）；（2）； （3）；（4）； 【变式2-1】求下列函数的定义域：（1）；（2）； （3）；（4）；(5)函数． ◆类型2正切型函数不等式问题 【例题2-2】（2021·高一课时练习）观察正切曲线，写出满足下列条件的x值的范围： （1）；     （2）；     （3）． 【变式2-2】1.解下列不等式：(1)；（2）； （3）；(4)． 【变式2-2】2．不等式的解集为________ 【变式2-2】3．（河北省邢台市2022-2023学年高一上学期期末数学试题）下列是“”的一个充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】4．（2023秋·湖北·高一湖北省黄梅县第一中学校联考期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】5．（2022春·陕西渭南·高一统考期末）已知且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】6．（2022·高一课时练习）若直线（）与函数的图象无公共点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型3 正切函数与零点问题 【方法总结】函数零点的求解与判断方法： （1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． （2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．但在应用图象解题时要注意两个函数图象在同一坐标系内的相对位置，要做到观察仔细，避免出错． 【例题3】（2022·上海徐汇·统考一模）函数在区间上的零点是___________. 【变式3-1】1．（2022春·