用样本估计总体的数字特征 课件-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

用样本估计总体的数字特征 授课人：孙迎港 目 标 1 输入标题名称 2 输入标题名称 3 输入标题名称 4 输入标题名称 情景导入 1、我们已经学习了用图、表来组织、概括样本数据，并且学习了如何通过图、表提供的信息，用样本的频率分布估计总体的分布。但是在很多情况下，我们往往并不需要了解总体的分布形态，而是更关心总体的某一数字特征，如平均数、方差等。如何用数字的样本特征估计总体的数字特征呢？ 2、在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下： 甲：7、8、6、8、6、5、9、10、7、4 乙：9、5、7、8、7、6、8、6、7、7 根据上述数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定吗？ 新知概念 一、众数、中位数、平均数、百分位数 1、众数、中位数、平均数、百分位数的概念 （1）众数：一组数据中出现次数最多的数据。一组数据的众数可能有多个也可能没有，反映了该组数据的集中趋势。 （2）中位数：一组数据按照从小（大）到大（小）的顺序排成一列，处于中间位置的数据（或中间两数的平均数）。一组数据的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势。 （3）平均数：一组数据的平均值，数据的平均数为代表该组数据的平均水平。任何一个数据的改变都有可能会引起平均数的变化。受最大值和最小值的影响较大。 （5）百分位数：一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数，总体的分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是 （6）常用的百分位数： 四分位数：25%，50%，75%分位数是三个常用的百分位数。把总体数据按照从小到大的顺序排列后，这三个百分位数把总体数据分成了4个部分，在这4个部分取值的可能性都是，因此这三个百分位数也称为总体的四分位数，其中分位数也就是中位数。 （7）百分位数的性质：分位数是这样的一个值，指的是这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值。 （8）百分位数的计算：计算一组个数的分位数的一般步骤如下： 第一步：按照从小到大的顺序排列原始数据（并给数据编上序号） 第二步：计算（相当于计算数据的序号） 第三步：若不是整数，且大于的最小整数是，则分位数是第个数据； 若是整数，则分位数是第个数据和第个数据的平均值。 思考：分位数一定在该组数据中吗？ 二、最值、极差、标准差、方差 1、最值、极差、标准差、方差的概念 （1）最值：一组数据中的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反应的是这组数据最极端的情况。 （2）极差：一组数据中的最大值与最小值的差成为这组数据的极差。表示该组数据之间的差异情况。 （3）标准差：标准差是样本数据到样本平均数的一种平均距离，一般用表示，即。标准差描述的是一组数据围绕平均数的波动大小。标准差越大，数据越分散（离散），标准差越小，数据越集中。（可以适当引入求和符号） （4）方差：标准差的平方，即与标准差的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动的大小。方差的简化计算公式 三、平均数与方差（标准差）的性质 若的平均数为，方差为，标准差为，则： （1）的平均数为，方差为，标准差为 （2）的平均数为，方差为，标准差为 （3）的平均数为，方差为，标准差为 简单的证明： 典例剖析 题型一 百分位数的计算 例1、（1）已知从某中学高一年级随机抽取20名女生，测量她们的身高（单位：cm），把这20名同学的身高数据从小到大排序： 148.0 149.0 150.0 152.0 154.0 154.0 155.0 155.5 157.0 157.0 158.0 159.0 161.0 162.0 163.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0 则这组数据的第75百分位数是（ ） A．163.0 B．164.0 C．163.5 D．164.5 （2）一组数据12，34，15，24，39，25，31，48，32，36，36，37，42，50的第25，75百分位数分别是______、________． （3）某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：）：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，，174，175，若样本数据的第90百分位数是173，则的值为________. 题型二 平均数、方差、标准差的计算及性质 例2、（1）求一组数据7，6，8，8，5，9，7，7，6，7的方差和标准差 （2）【多选题】已知一组数据的平均数和方差均为2，则下列叙述正确的有（ ） A、的平均数为3 B、的方差为3 C、的方差为4 D、的方差为8 （3）已知样本数据由小到大依次为2，3，3，7，12，13.7，18.3