5.1.1变化率问题（第一课时）课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及应用 17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分 牛顿偏重从物理问题出发，应用了运动学的原理，如瞬时速度中的“微分”、运动变量的“积分”等概念. 莱布尼茨从几何学问题出发，用分析法引进微积分，得出运算法则，比牛顿的更为规范和严密. 章前导入 微积分的创立与处理四类科学问题直接相关 1 求物体在任意时刻的速度与加速度 2 求曲线的切线 3 求函数的最大值与最小值 4 求长度、面积、体积和重心等 导数是微积分的核心概念之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方法. 导数的本质是什么？ 课程标准 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬间变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬间变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想； 2.体会极限思想； 3.通过函数图象直接理解导数的几何意义。 4 第五章 一元函数的导数及应用 5.1.1 变化率问题 第一课时 一 二 三 学习目标 会求函数在某一点附近的平均变化率，理解函数的平均变化率，瞬时变化率及瞬时速度的概念 会求抛物线的切线斜率，体会数学的极限思想 通过本节课的学习，培养起数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养. 学习目标 课堂导入 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多.进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？ 下面我们就来研究这个问题. 变化率：一个变量相对于另一个变量的变化而变化的快慢程度叫做变化率. 7 创设情境 问题1 高台跳水运动员的速度 新知探究：变化率问题 新知探究：变化率问题 问题1 高台跳水运动员的速度 在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系： 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ 视频中，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快。我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态. 请计算对应时间段的平均速度： 新知探究：变化率问题 新知探究：变化率问题 要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度． 再计算： 追问1：(1)运动员在这段时间里是静止的吗? (2)平均速度能准确反映运动员的运动状态吗? (1)在这段时间内，运动员并不处于静止状态. (2)用平均速度不能准确反映运动员在这段时间内里的运动状态. 新知探究：变化率问题 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(instantaneous velocity). 追问2 瞬时速度与平均速度有什么关系? 你能利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗? 设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是 可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度. 新知探究：变化率问题 问题 运动员在t=1s时的瞬时速度是多少？ Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格. Δt < 0 Δt > 0 -0.01 0.01 -0.001 0.001 -0.0001 0.0001 -0.00001 0.00001 -0.000001 0.000001 -4.951 -4.9951 -4.99951 -4.999951 -4.9999951 -5.049 -5.0049 -5.00049 -5.000049 -5.0000049 通过观察可得，当∆t无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于－5. 归纳总结 (1)求物体运动路程与时间的关系s＝s(t)； (2)求时间改变量Δt，位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； 求瞬时速度的步骤 方法归纳 新知应用 思考 (1) 求运动员在t=2 s时的瞬时速度； (2) 如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度? 新知应用 思考 (1) 求运动员在t=2 s时的瞬时速度； (2) 如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速