5.1.1变化率问题说课课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.1 变化率问题（1） 第五章 一元函数的导数及其应用 5.1导数的概念及其意义 人教A版（2019）选择性必修第二册 1 高台跳水运动员的速度 教材分析 1 教学目标 2 教法学法 3 教学过程 4 效果评价 5 2 教材分析 在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想，通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义. 瞬时速度是极短时间内的平均速度 平均速度 瞬时速度 描述物体运动的快慢. 粗略 精确 导数是微积分的核心概念之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方法. LOGO 3 学情分析 知识方面：让学生亲身经历变化率概念的形成，发展和应用过程，加深学生对数学概念本质的理解。 思维方面：高二学生思维活跃，敢于探索，对变化率有一定的感知能力，但思维逻辑尚属于经验性，所以本节课以问题为引导，通过恰当的培养使得学生的分析归纳能力得到提高。 LOGO 4 教学目标 通过实例分析，经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想，提升学生的数学抽象和直观想象。 LOGO 5 教法学法 教法：培养学生自主学习的能力，以及动手操作能力，使得不同层次的学生都能获得相应的满足 探究式教学；提问式教学；分层次教学 学法：为了发挥学生的主观能动性，提高学生的综合能力。 LOGO 6 讨论研究 深化理解 探究新知引出概念 创设情境 导入新课 教学过程 应用新知 巩固提高 归纳反思 回顾总结 分层作业 板书设计 7 设计意图：（1）学生观看两个视频，体会列车和火箭的运动快慢程度，同时感叹中国科技的腾飞，在飞速发展的科技中，数学起着至关重要的作用。 （2）作为引饵，引出新课，新概念. 创设情境 导入新课 探究新知，引出概念 探究 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位: m)与起跳后的时间t (单位: s)存在函数关系 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢? 问题1 高台跳水运动员的速度 【设计意图】引发学生思考，将实际问题转化数学问题，掌握求平均速度的方法，让学生感受数学来源于生活，充分体现了数学的应用价值。 h t o 把整个运动时间段分成许多小段 用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态 LOGO 9 让学生计算某段时间内的平均速度，自主的归纳总结平均速度的公式。 1.平均速度 【设计意图】将学生每四个人分成一个小组，并且让组内的每个学生自主选择时间段进行计算，这样做更容易激发学生的学习兴趣 探究新知，引出概念 LOGO 10 例题讲解 【设计意图】例1使学生加深对平均速度的的理解，为后面学习瞬时速度作铺垫 LOGO 11 计算运动员在 这段时间里的平均速度 思考 ： (1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 【设计意图】通过对具体问题的思考和分析，引起学生的认知冲突，启发学生归纳总结出瞬时速度的概念，发展学生的数学抽象，数学运算和数学建模能力。 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(instantaneous velocity). 2.瞬时速度 探究新知，引出概念 LOGO 12 思考： （1）瞬时速度与平均速度有什么关系？ （2）你能利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗？ 我们在t=1之后或之前，任意取一个时刻1+Δt，Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0 当∆t >0时， 1十∆t在1之后，用运动员在时间段[1, 1十∆t]内的平均速度近似表示运动员 在t=1时的瞬时速度； 平均速度 缩短时间段长度 瞬时速度v(t0) 讨论研究，深化理解 【设计意图】教师引导并且利用信息技术工具演示Δt<0时平均速度逼近瞬时速度的过程，让学生演示Δt>0 的过程，有利于学生直观地感受极限思想。让学生真正参与到课堂互动中来，体会到探究的乐趣。 LOGO 13 给出Δt更多的值，计算 讨论研究，深化理解 【设计意图】通过上述表格的计算，让学生体会逼近思想，理解平均速度就是瞬时速度的极限。 同时引导学生思考有限个计算结果不能断定平均速度一直具有该特征，需要从理论的角度加以证明。 思考 上述列表计算瞬时速度的过程可靠吗？ LOGO 15 讨论研究，深化理解 思考 (1) 求运动员在t=2 s时的瞬时速度； (2) 如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度? 从特殊到一般，归纳总结 【设计意图】 （1）使学生加深对瞬时速度概念的理解，能够独立并且熟练的求瞬时速度；（2）体现了以学生动手为主体，提高学生计算的能力；（3）提高学生归纳总结和分析问题的能力. LOGO 16 例题讲解 【设计意图】加深对概念的理解，体会极限思想 LOGO 17 刘辉“割圆术”： 割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割， 则与圆合体而无所失矣. 数 学 文 化 博 大 精 深 多边形 逼近 圆 讨论研究 深化理解 【设计意图】直观的体会逼近思想，感受数学文化的博大精深 应用知新，巩固提高 1. 求问题1中高台跳水运动员在t=0.5 s时的瞬时速度. 课本P61 2. 火箭发射t s后，其高度(单位: m)为h(t)=0.9t2. 求： (1) 在1≤t≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度； (2) 发射后第10 s时，火箭爬高的瞬时速度. 3. 一个小球从5 m的高处自由下落，其位移y (单位: m)与时间t (单位: s) 之间的关系为 y(t)=－4.9t2 . 求t =1 s时小球的瞬时速度. 【设计意图】引用课本练习题，循序渐进，进一步体会用平均速度逼近瞬时速度的思想，感悟极限在数学中的应用。 LOGO 19 归纳反思，回顾总结 1.本节课学习了哪些知识？ 3.在获得知识的过程中用到了哪些思想、方法？ 特殊到一般、极限思想 平均速度 瞬时速度 2.求物体在时刻t0的瞬时速度一般步骤： 平均变化率 瞬时变化率 瞬时速度的本质是平均速度的极限. 无限逼近 取极限 无限逼近 取极限 【设计意图】通过小组的回顾和总结，找代表发言，让学生能学有所思，思有所得，练有所获。加深学生的数学概念本质的理解与应用，为后面学习导数作铺垫；同时又能注重培养学生数学表达能力. LOGO 20 5.1.1变化率问题 1、平均速度 2、例1 3、瞬时速度 4、例2 4、课堂练习 5、小结 6、作业 分层作业、板书设计 效果评价 本节课以平均速度逼近瞬时速度为主线，以“师生互动，主动参与，共同探究”为特色，把握重点，突破难点。在教学思想上既注重知识形成过程的教学，还突出学生学习方法的指导，探究能力的训练，创新精神的培养，使学生从“学会”走向“会学”，引导学生发现数学之美，体验求知的乐趣。 敬请各位评委 批评指正 谢谢大家 ！ ＝ Lavf57.56.101 例1 已知一物体的运动方程为s(t)＝t2＋2t＋3，求该物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度． 解：物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的位移增量 Δs＝s(1＋Δt)－s(1) ＝[(1＋Δt)2＋2(1＋Δt)＋3]－(12＋2×1＋3) ＝(Δt)2＋4Δt. 物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(Δt2＋4Δt,Δt)＝4＋Δt. Lavf58.46.101 例2已知质点M做直线运动，且位移随时间变化的函数为s＝2t2＋3(位移单位：cm，时间单位：s). (1)当t＝2，Δt＝0.01时，求； (2)当t＝2，Δt＝0.001时，求； (3)求质点M在t＝2时的瞬时速度． ＝ 第一步：求Δt和Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； 第二步：求＝； 第三步：v＝s′(t0)＝ .　 $$