专题03 空间几何（解答题5种考法）-【满分计划】2023年高考数学二轮复习考法分类训练（选填题+解答题）（新高考地区专用）

专题03 空间几何（解答题5种考法） 考法一 证明平行常用的思路 【例1-1】（2022福建模拟节选）如图，在四棱锥中，底面是菱形，是线段上的中点，证明： 平面 【例1-2】（2022广东模拟节选）如图，是菱形，，. 求证：平面. 【例1-3】（2022广西模拟节选）如图，在直角梯形中， ，截面交于点,求证： ； 【例1-4】（2022甘肃节选）如图，三棱锥中， 是的中点， 是的中点，点在上且，证明： 平面； 【例1-5】（2022山西）如图5，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，且平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD，．求证：平面ABCD； 【例1-6】如图，已知P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是PA，BD上的点，且PM∶MA＝BN∶ND＝5∶8. 求证：直线MN∥平面PBC． 图5 考法二 证明垂直的常见思路 【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形中过点作的垂线交的延长线于点，.连接交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置.如图2.证明：直线平面. 【例2-2】（2022·云南）如图，四棱锥中，平面平面，为的中点，为的中点，且，，．证明：平面 【例2-3】．（2022·广东）如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，PA⊥平面ABCD，，.求证：平面PCD⊥平面PAC； 【例2-4】（2021·福建节选）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，，是线段的中点，是线段靠近点的四等分点，点在线段上，求证： 【例2-5】（2023·山西）如图，正三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，在侧棱上，且，求证：平面平面； 考法三 空间角 【例3-1】（2022·浙江·高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【例3-2】（2022·江西）如图1，已知等边的边长为3，点M，N分别是边AB，AC上的点，且满足，，如图2，将沿MN折起到的位置． (1)求证：平面平面BCNM； (2)若四棱锥的体积为，求平面和平面的夹角的余弦值． 【例3-3】（2022·河北·模拟预测）如图，在三棱柱中，点在底面内的射影恰好是点，点是的中点，且. (1)证明：； (2)已知，，直线与底面所成角的大小为，求二面角的大小. 【例3-4】（2022·河北石家庄·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，点为的中点，且平面． (1)求证：平面； (2)若二面角的余弦值为，求直线与所成角的正切值． 【例3-5】（2022·河北石家庄·一模）如图，在梯形中，为直角，，，将三角形沿折起至. (1)若平面平面，求证：； (2)设是的中点，若二面角为30°，求二面角的大小. 考法四 空间距离 【例4-1】（2023·青海）如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，M为CD中点，连接BM，CE交于点F，G为△ABE的重心． (1)证明：平面ABC (2)已知平面ABC⊥BCDE，平面ACD⊥平面BCDE，BC=3，CD=6，当平面GCE与平面ADE所成锐二面角为60°时，求G到平面ADE的距离． 【例4-2】（2022·北京·北大附中三模）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且. (1)求证：平面； (2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 【例4-3】（2022·北京市第五中学三模）如图，在三棱柱 中，平面 平面 ，是矩形，已知 ，动点 在棱 上，点 在棱 上，且 . (1)求证： ; (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值; (3)在满足（2）的条件下，求点到平面的距离. 考法五 动点问题 【例5-1】（2022·广东江门）如图，在正四棱锥中，，，P在侧棱上，平面. (1)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； (2)侧棱上是否存在一点E，使得平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【例5-2】（2022·湖北）已知四棱锥中，底面是矩形，且，是正三角形，平面，、、、分别是、、、的中点． (1)求平面与平面所成的锐二面角的大小； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【例5-3】（2022·江苏连云港·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，． (1)证明：； (2)在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在， 求与所成角的余弦值；若不存在，请说明理由． 【例5-4】（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））如图，是边长为6的正三角形，点E，F，N分别在边AB，AC，BC上，且，为BC边的中点，AM交EF于点，沿EF将三角形AEF折到DEF的位置，使. (1)证明：平面平