第22讲 圆锥曲线解答题中的弦长面积问题3种常考题型-【高考备考题型讲义】备战2023年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）

第22讲 圆锥曲线解答题中的弦长面积问题3种常考题型 【考点分析】 考点一：弦长公式 设，根据两点距离公式． 注意： ①设直线为上，代入化简，得; ②设直线方程为，代入化简，得 ③，其中为直线与圆锥曲线联立后得到的一元二次方程的判别式，为二次项系数 考点二：三角形的面积处理方法 ①底·高 （通常选弦长做底，点到直线的距离为高） ②水平宽·铅锤高或 ③在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为． 考点三：四边形面积处理方法 ①若四边形对角线与相互垂直，则 ②将四边形面积转化为三角形面积进行解决 【题型目录】 题型一：求弦长及范围问题 题型二：三角形面积及范围问题 题型三：四边形面积及范围问题 【典型例题】 题型一：求弦长及范围问题 【例1】已知椭圆：的离心率为且经过点1)，直线经过且与椭圆相交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)当求此时直线的方程； 【例2】已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦AB与CD，求的取值范围. 【例3】已知椭圆的左焦点，长轴长与短轴长的比是． (1)求椭圆的方程； (2)过作两直线交椭圆于四点，若，求证：为定值． 【题型专练】 1．椭圆C：左右焦点为，，离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)经过点，倾斜角为直线l与椭圆交于B，C两点，求． 2.已知椭圆：过点且与抛物线：有一个公共的焦点． (1)求椭圆与抛物线的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，与抛物线交于，两点．是否存在这样的直线，使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 3.已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的方程； (2)若是上两点，直线与圆相切，求的取值范围． 4.已知椭圆，，分别为左右焦点，点，在椭圆E上. (1)求椭圆E的离心率； (2)过左焦点且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于A，B两点，若的中点为M，O为原点，直线交直线于点N，求取最大值时直线l的方程. 题型二：三角形面积及范围问题 【例1】在平面直角坐标系中，椭圆：与椭圆有相同的焦点，，且右焦点到上顶点的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)若过椭圆左焦点，且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的面积． 【例2】已知椭圆E的中心为坐标原点O，对称轴分别为x轴、y轴，且过，两点． (1)求E的方程； (2)设F为椭圆E的一个焦点，M，N为椭圆E上的两动点，且满足，当M，O，N三点不共线时，求△MON的面积的最大值． 【例3】已知椭圆：的离心率，短轴长为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)设为椭圆的右顶点，，是轴上关于轴对称的两点，直线与椭圆的另一个交点为，点为中点，点在直线上且满足（为坐标原点），记，的面积分别为，，若，求直线的斜率． 【例4】已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线与椭圆交于两点，且当轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线的斜率存在且不为0，点在轴上的射影分别为，且三点共线，求证：与的面积相同. 【例5】已知椭圆的上､下顶点分别为，点在椭圆内，且直线分别与椭圆交于两点，直线与轴交于点．已知． (1)求椭圆的标准方程； (2)设的面积为的面积为，求的取值范围． 【题型专练】 1.已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，点在上. (1)是上一动点，求的范围； (2)过的右焦点，且斜率不为零的直线交于，两点，求的内切圆面积的最大值. 2．已知O为坐标原点，点皆为曲线上点，为曲线上异于的任意一点，且满足直线的斜率与直线的斜率之积为. (1)求曲线的方程： (2)设直线与曲线相交于两点，直线的斜率分别为（其中），的面积为，以为直径的圆的面积分别为、，若恰好构成等比数列，求的取值范围. 3.已知椭圆：的长轴为4，离心率为 (1)求椭圆的方程； (2)如图，过点的直线与交于，，过，作直线：的垂线，垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，问：是否存在实数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 4．已知椭圆经过点且焦距为4，点分别为椭圆的左右顶点，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别为，求的值； (3)是椭圆上的两点，且不在坐标轴上，满足， ，问的面积是否是定值？如果是，请求出的面积；如果不是，请你说明理由. 5．已知圆：，点，是圆上的一个动点，线段的中垂线交于点. (1)求点的轨迹的方程； (2)若点，过点A的直线与C交于点M，与y轴交于点N，过原点且与平行的直线与C交于P、G两点，求的值. 6.若椭圆与椭圆满足，则称这两个椭圆为“相似”，相似比为m.如图，已知椭圆的长轴长是4，椭圆的离心率为，椭圆与椭圆相似比为. (1)求椭圆与椭圆的方程； (2)过椭圆左焦点F的直线l与、依次交于A、C、D、B四点. ①求证：