函数与导数篇 专题五导数与不等式-江苏省2023届高三数学二轮复习讲义

专题五 导数与不等式 复习目标： 1、利用导数解抽象不等式； 2、利用导数证明函数不等式； 3、利用导数证明数列不等式 【问题一】利用导数解抽象函数与不等式问题的策略 【试题1】 7.（2021·甘肃·兰州一中高三月考（理））已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【解析】因为偶函数的定义域为，设，则，即也是偶函数.当时，根据题意，则在上是减函数，而函数为偶函数，则在上是增函数. 于是，，所以.故选：A. 2．（多选题）已知定义域为的函数的图象连续不断，且，，当时，，若，则实数的取值可以为（ ）A．－1 B． C． D．1 【答案】BCD 【解析】依题意可得：，故， 令，则，所以函数为奇函数， ，因为当时，， 即当时，，故在上单调递减，由为奇函数可知，在上单调递减，因为， 故，即，故，故，故实数的取值范围为. 由选项可知：BCD正确 3．（多选题）已知函数的定义域、值域都是，且满足，则下列结论一定正确的是（ ） A．若，则 B． C． D． 【解析】函数，则函数的定义域为，， 所以，函数在上单调递增，对于A选项，，即，则，A对；对于B选项，，即，故，B对；对于C选项，，则，所以，， 故，C错；对于D选项，构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递增，故，即当时，，因为，即，由可得，则，所以，，故，D对. 故选：ABD. 13．（2021·全国·高三月考（理））已知函数的定义域为，，若对于任意的都有，则当时，不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】设，则，所以函数在上为增函数. ，， 即，得，又，， 所以不等式的解集为. 5.已知函数的导函数满足：，且，当时，恒成立，则实数a的取值范围是______________． 【答案】 【解析】设，则，故，则，又因为，即，所以，，，因为，所以在上恒成立，其中，理由如下：构造，则，令得：，当得：，当得：，故在处取的极小值，也是最小值，，从而得证.故，故，实数a的取值范围为 【问题2】利用导数证明不等式的策略 【试题1】当时，求证： 证明：令 则 当时， 当时， 在上的最大值为 ，即 再令 则 当时， 时， 函数在上的最小值 ，即 综上，当时，有 【策略】根据不等式的结构特征构造一个可导函数是利用导数证明不等的关键，当然在直接作差构造函数导数难以处理时，可用常见的函数不等式进行放缩。 【训练1】 已知函数， 证明：. 法1：直接作 ， 需证明 只需证明 （1）当时，， 成立 （2）当时， 则 得，则 ， 即在上单调递增 即 在上单调递增 ，即 综上，当时， 【试题2】 函数有两个不同的零点 （1）求的取值范围； （2）求证：. （1）解：令，得 设，则 在单调递增，在单调递增 当时，取得最小值 又，当时， 而当时， 的范围为 （2）证明：由题意得， ， 不妨设要证 只需证 即得 得，令 函数在上单调增 而， 即 【策略】对要证明的不等式进行适当变形，集合分析法取寻找证明突破口. 【练习2】已知函数 （1）已知函数对任意满足 证明：当时，； （2）如果，且，证明： 证明：（1）因为， 令，即 则 当时，，，从而 则函数，在是增函数 故当时，成立 （2）因为在内是增函数 在内是减函数，，且 不可能在同一单调区间内 不妨设，由可知 又， ， ，， 在区间内为增函数 故，即 【试题3】 根据不等式证明： 证明：由可得 令， 得 上式取 个不等式相加得 【策略】根据数列不等式结构联想常用的函数不等式，将常用函数不等式的变量进行代换是证明这种问题的基本方法. 【练习】已知函数 （1）若，求的值； （2）当为整数，且对于任意正整数，，求的最小值. 【解析】1. 的定义域为 ①若，，不 题意 ②当时，由知 当时， 当时， 在 故是在上唯一最小值 由于，当且仅当时，，故 （2）由（1）知当时， 令得 从而 故 而 的最小值为3 课后练习 一、选择题 1．（2021·山西·长治市第八中学高三月考（文））已知是定义在上的奇函数，，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【解析】设，则，，若x>0，由，则，即在上单调递增.因为是R上的奇函数，，容易判断，在R上是奇函数，且，则函数在上单调递增，且，所以的解集为.于是的解集为：. 2.（2021·山东高三其他模拟），则a，b，c的大小顺序为（ ） A． B． C． D． 【解析】令，则，，， 而且，即时单调增，时单调减，又， ∴，.若有两个解，则，， 即，，令，则，即在上递增，∴，即在上，，若即，故，有∴当时，，故，综上：. 3.已知定义在上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)<f′(x)tanx成立，则(