函数与导数篇 专题四导数与函数零点-江苏省2023届高三数学二轮复习讲义

专题四：导数与函数的零点 一、复习目标： 1、判断函数零点个数策略； 2、已知函数零点个数解决参数范围的策略； 3、函数零点的综合处理策略. 二、问题与策略 【问题一】判断零点的个数的策略 【试题1】（2022·全国甲（理）T21） 已知函数． （1）若，求a的取值范围； （2）证明：若有两个零点，则环． 【答案】（1） （2）证明见的解析 【解析】 【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解； （2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证. 【小问1详解】 的定义域为， 令,得 当单调递减 当单调递增， 若,则,即 所以的取值范围为 【小问2详解】 由题知,一个零点小于1,一个零点大于1 不妨设 要证,即证 因为,即证 因为,即证 即证 即证 下面证明时， 设， 则 设 所以,而 所以,所以 所以在单调递增 即,所以 令 所以在单调递减 即,所以； 综上, ,所以. 【策略1】解函数零点问题的一般思路： (1)对函数求导． (2)分析函数的单调性，极值情况． (3)结合函数性质画函数的草图． (4)依据函数草图确定函数零点情况． 【跟踪训练1】已知函数f(x)＝3ln x－x2＋2x－3ln 3－，求方程f(x)＝0的解的个数． 解：因为f(x)＝3ln x－x2＋2x－3ln 3－(x＞0)， 所以f′(x)＝－x＋2＝＝， 当x∈(0,3)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当x∈(3，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减， 所以f(x)max＝f(3)＝3ln 3－＋6－3ln 3－＝0， 因为当x→0时，f(x)→－∞；当x→＋∞时，f(x)→－∞， 所以方程f(x)＝0只有一个解． 【问题二】已知函数零点个数求参数的取值范围的策略 【试题2】（2022·全国乙（文）T20） 已知函数． （1）当时，求的最大值； （2）若恰有一个零点，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解； （2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以； 【小问2详解】 ，则， 当时，，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，此时函数无零点，不合题意； 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 又，当x趋近正无穷大时，趋近于正无穷大， 所以仅在有唯一零点，符合题意； 当时，，所以单调递增，又， 所以有唯一零点，符合题意； 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减；此时， 又，当n趋近正无穷大时，趋近负无穷， 所以在有一个零点，在无零点， 所以有唯一零点，符合题意； 综上，a的取值范围为. 【训练2】已知函数f(x)＝lnx＋有零点，求实数a的取值范围． 解　方法一　f′(x)＝－， ①当a≤0时，f′(x)>0恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又f(1)＝ln1＋a＝a≤0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞， 所以函数f(x)在定义域(0，＋∞)上有1个零点． ②当a>0，则x∈(0，a)时，f′(x)<0；x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0. 所以函数f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增． 当x＝a时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝lna＋1， 则lna＋1≤0，即0<a≤， 又f(1)＝ln1＋a＝a>0， 所以函数f(x)在定义域(0，＋∞)上有零点． 综上所述，实数a的取值范围为. 方法二　由f(x)＝lnx＋有零点可得， a＝－xlnx有解， 设φ(x)＝－xlnx，则φ′(x)＝－lnx－1， 令φ′(x)<0，得x>； 令φ′(x)>0，得0<x<， 所以φ(x)＝－xlnx在上单调递增，在上单调递减，且x→0时，φ(x)→0，x→＋∞时，φ(x)→－∞， 画出φ(x)＝－xlnx的草图如图所示，当a≤时，a＝－xlnx有解， 所以实数a的取值范围是. 【策略2】 根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”，即通过函数图象与x轴的交点个数，或者两个相关函数图象的交点个数确定参数满足的条件，进而求得参数的取值范围，解决问题的步骤是“先形后数”．　　 【问题三】函数零点的综合问题 【试题3】 已知函数，如果，且，证明． 法一：，令，，则，转化为为的两个零点（a为常数），由例3变式2的结论可得，即，即，得证． 法二：不妨设，由题意，∴，设，则，∴，∴，要证，即证，化为，设，则，，，∴在上单调递增，∴，∴在上单调递增，∴． 法三：令，则，于是， 当时，，所以，从而函数在是增函数，又，所以时，，即． 若，由的单调性及，则，与矛盾； 若，由的单调性及，得，与矛盾．