函数与导数篇 专题三导数与函数-江苏省2023届高三数学二轮复习讲义

专题三 导数与函数性质 一、复习目标： 1、提炼利用导数研究函数的切线问题的策略； 2、提炼利用导数研究函数的哪些性质； 3、提炼利用导数研究函数的单调性、极值最值的基本策略. 二、问题与策略 【问题一】函数的切线的处理策略有哪些？ 【试题1】： 1．（2022·新高考Ⅰ卷T15）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 2.（2022·新高考Ⅱ卷T14） 写出曲线过坐标原点的切线方程：____________，____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 【详解】解： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 故答案为：； 3．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为 A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 【答案】D 【解析】设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则， 两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即.故选：D． 【策略1】解决函数图像的切线问题关键在于抓住切点，用好转化思想，将问题转化为方程问题，如第1小题简单求导求切线斜率就可以，第2小题是知切线方程求参数（方程思想），第3小题为知某点处切线条数，求参数范围（转化为方程有三根的充要条件）. 【试题2】: 1．（2022·全国甲（文）T20） 已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． （1）若，求a； （2）求a的取值范围． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）先由上的切点求出切线方程，设出上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出即可； （2）设出上的切点坐标，分别由和及切点表示出切线方程，由切线重合表示出，构造函数，求导求出函数值域，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 由题意知，，，，则在点处的切线方程为， 即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得； 【小问2详解】 ，则在点处的切线方程为，整理得， 设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得， 则，整理得， 令，则，令，解得或， 令，解得或，则变化时，的变化情况如下表： 0 1 0 0 0 则的值域为，故的取值范围为. 【训练】已知函数． （1）求函数的单调区间；（2）若直线为曲线的切线，求证：直线与曲线不可能有2个切点． 解析：（1）由题意，，令，则△， ①若，则△，则，故函数在上单调递增； ②若或，有两个零点，，则， 其中，； 若，则，，此时，故函数在上单调递增； 若，则，， 当时，，当，时，，当，时，， 故函数在和，上单调递增，在，上单调递减； 综上所述，可知： ①当时，函数在上单调递增； ②当时，函数在和，上单调递增，在，上单调递减． （2）证明：（反证法） 假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点，，，， 不妨令，则处切线的方程为：， 处切线的方程为：． 切线，为同一直线，所以有． 即，整理得． 消去得，．① 令，由与，得， 记，则， 所以为上的单调减函数，所以（1）． 从而①式不可能成立，所以假设不成立， 即若直线为曲线的切线，则直线与曲线不可能有2个切 【策略2】涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是连接多个曲线的桥梁，往往从常系数函数入手求切线，然后再考虑和其他函数的关系.，不得 【试题3】：已知函数，，判断和是否存在公切线，如果不存在，请说明理由，如果存在请指出公切线的条数. 【解析】假设存在公切线，与和分别切于点则公切线即 同时即 所以：消去一个变量问题转化为方程有几个根的问题 ，所以在单调递增， 因为时 所以函数在有且仅有一个零点 因为时，时 所以函数在有且仅有一个零点 所以一共两个零点 所以存在公切线，一共两条. 【策略3】分别在两曲线上设点，求切线然后利用两直线重合列出方程组，转化为方程组解得问题. 【问题2】函数单调性的研究有哪些策略 试题1：已知函数，，其中. （1）试讨论函数的单调性；（2）