函数与导数篇 专题二基本初等函数-江苏省2023届高三数学二轮复习讲义

( 高三二轮复习 专题：函数与导数篇 ) 专题二 基本初等函数 一、复习目标 1． 指数与对数的运算性质，指数与对数的互化思想； 2． 幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等基本初等函数与有关复合函数的图象与性质. 二、考情分析　 1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考热点，常以压轴题的形式出现 二、问题与策略 【问题1】指数与对数运算以及互化问题解决策略有哪些？ 试题1 (2020·全国Ⅱ)若2x－2y<3－x－3－y，则(　　) A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0 C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0 答案　A 解析　设函数f(x)＝2x－3－x. 因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增， 所以f(x)在R上单调递增． 原式等价于2x－3－x<2y－3－y，即f(x)<f(y)， 所以x<y，即y－x>0，所以A正确，B不正确； 因为|x－y|与1的大小关系不能确定，所以C，D不正确． 【策略1】　(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数问题时，首先要看底数a的取值范围． (2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化． 试题2 函数与函数图象有三个不同的交点，则实数a的取值范围为 ． 解答：由图象可知两函数在上有一个交点，则方程在上有两个不同的根，对方程两边同时取对数得到，化简得，构造函数，由可作出函数图象，得到. 【策略2】指数与对数运算互为逆运算，运算需要降级时化指数为对数，反之化对数为指数. 练习 已知函数f(x)＝ax＋logax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为__________． 解答：由题可知函数f(x)＝ax＋logax在[1，2]上是单调函数，所以其最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，整理可得a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)，故a＝2． 【问题2】基本初等函数的图象与性质问题的常用解决策略有哪些？ 试题1 已知f(x)＝3x，并且f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x的定义域为[－1，1]． （1）求函数g(x)的解析式； （2）判断g(x)的单调性； （3）若方程g(x)－m＝0有解，求m的取值范围． 解答：①f(a＋2)＝18，得到3a＋2＝18，∴3a＝2，∴g(x)＝2x－4x，x∈[－1，1] ②令t＝2x，≤t≤2，则y＝t－t，∴g(x)在[－1，1]上单调递减； ③方程g(x)－m＝0有解，则有交点 ∴≤t≤2，则y＝t－t的范围是[－2，]，所以m∈[－2，]． 【策略1】指数方程求解时将对应函数的内函数看成整体求解；复合函数的单调性遵从“同增异减”的判断原则；方程有解问题可分离变量转化为函数值域问题，也可数形结合转化为函数图象公共点问题，如果方程本身可以求解，不妨直接求解．在此过程中须注意指数函数本身的有界性． 试题2 (2021·济南模拟)已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)，若函数f(x)的图象上有且仅有两个点关于y轴对称，则a的取值范围是(　　) A．(0,1) B．(1,3) C．(0,1)∪(3，＋∞) D．(0,1)∪(1,3) 答案　D 解析　y＝logax的图象关于y轴对称的图象对应的函数为y＝loga(－x)，函数f(x)的图象上有且仅有两个点关于y轴对称，等价于y＝loga(－x)与y＝|x＋2|，－3≤x≤0的图象有且仅有一个交点．当0<a<1时，显然符合题意(图略)；当a>1时，只需loga3>1，∴1<a<3，综上所述，a的取值范围是(0,1)∪(1,3)． 【策略2】对数函数与其他函数的复合函数的性质，与指数型复合函数研究方法类似，须注意真数为正数的限制，同时在性质探讨的过程中须熟练应用对数的运算性质． 试题3 已知函数． （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数的值域为，求实数的取值范围. 解答: （1）若函数的定义域为，则恒成立，则恒成立，解得． （2） 当时，，满足题意； 当时，，则； 当时显然符合要求. 综上所述得. 【策略3】函数定义域即为解不等式，故已知定义域即已知不等式解集；由于复合函数外函数的限制，所以当函数值域为时，只要使内函数能取得一切非负实数即可.若函数值域为，则. 练习 （2022·北京卷T4） 己知函数，则对任意实数x，有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误． 【详解】，故A错误，C正确； ，不是