专题17 圆中的重要模型-阿基米德折弦定理与米勒最大角问题-2023年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（全国通用）

专题17 圆中的重要模型-阿基米德折弦定理与米勒最大角问题 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（阿基米德折弦模型、米勒最大张角（视角）模型、弧中点模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.阿基米德折弦模型 【模型解读】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。如下图所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是 的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD。 折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。 【模型证明】 方法1:补短法 如图，延长DB至F，使BF=BA ∵M是的中点 ∴∠MCA=∠MAC=∠MBC ∵M、B、A、C四点共圆 ∴∠MCA+∠MBA=180° ∵∠MBC+∠MBF=180° ∴∠MBA=∠MBF ∵MB=MB,BF=BA ∴△MBF≌△MBA ∴∠F=∠MAB=∠MCB ∴MF=MC ∵MD⊥CF ∴CD=DF=DB+BF=AB+BD 方法2:截长法 如图，在CD上截取DG=DB ∵MD⊥BG ∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC ∵M是的中点 ∴∠MAC=∠MCA=∠MGB 即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA 又∠MGB=∠MCB+∠GMC ∴∠BMA=∠GMC ∵MA=MC ∴△MBA≌△MGC(SAS) ∴AB=GC ∴CD=CG+GD=AB+BD 方法3:垂线法 如图，作MH⊥射线AB，垂足为H。 ∵M是的中点 ∴MA=MC ∵MD⊥BC ∴∠MDC=90°=∠H ∵∠MAB=∠MCB ∴△MHA≌△MDC(AAS) ∴AH=CD，MH=MD 又∵MB=MB ∴Rt△MHB≌Rt△MDB(HL) ∴HB=BD ∴CD=AH=AB+BH=AB+BD 例1．（2022秋·山西临汾·九年级统考阶段练习）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问题，其中有这样一个问题：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是的中点，则从点向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．其部分证明过程如下： 证明：如图2，在上截取，连接，，和． ∵是的中点，∴， ∵，∴， ∴，…… 任务：(1)补全证明过程， (2)如图3，在中，，，若，，，则到的距离是____________，到的距离是____________，的半径是____________． 【答案】(1)证明见解析 (2)；； 【分析】（1）在上截取，连接，，和，根据圆心角定理，得出，再根据圆周角定理，得出，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据三线合一的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，即可得出结论； （2）过点作于点，于点，连接，根据线段之间的数量关系，得出，再根据垂径定理，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，进而得出到的距离是，再根据垂径定理，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，进而得出到的距离是，再根据勾股定理，计算即可得出的半径． 【详解】（1）证明：如图2，在上截取，连接，，和． ∵是的中点，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴； （2）解：如图，过点作于点，于点，连接， ∵，，∴，∴， 由（1）的结论，并结合图形，可得：， ∴，解得：， ∵，∴， ∴，∴到的距离是， ∵，，∴， ∴，∴到的距离是， ∵，，∴， ∴的半径是．故答案为：；；． 【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系、圆心角定理、全等三角形的判定与性质、三线合一的性质、垂径定理、勾股定理，解本题的关键在正确作出辅助线，并熟练掌握相关的性质定理． 变式1．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）【了解概念】 我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． 【理解应用】 （1）如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则______； 【定理证明】 （2）阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点； 【变式探究】 （3）如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【灵活应用】 （4）如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则______________． 【答案】（1）3；（2）证明见解