2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--四边形的综合题

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--四边形的综合题 1．在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE>DE），AE，BD交于点F． （1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H． 求证：∠EAB=∠GHC； （2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明． 2．在一次数学研究性学习中，小明将两个全等的直角三角形纸片 和 拼在一起，使点 与点 重合，点 与点 重合(如图 )．其中 ， ， ．并进行如下研究活动：将图 中的纸片 沿 方向平移，联结 ， (如图 )． （1）求证：图2中的四边形 是平行四边形； （2）当纸片 平移到某一位置时，小明发现四边形 为矩形(如图3)．求此时 的长： （3）在纸片 平移的过程中，四边形 能成为菱形吗？如果可以直接写出 的长，如果不可以，说明理由． 3．如图1，已知 ，四根长度相等的木棒， ， ， ， 首尾相接组成四边形 ，点 是 的中点，连接 ， 交于点 ， 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，连接 ． （1）求证： ； （2）如图2，若 ，求证：四边形 是正方形； （3）将木棒 固定在射线 上，当木棒 绕着点 由 开始顺时针旋转时，四边形 也随之发生变化，设 ，且 满足 ．若 是直角三角形，请直接写出 的值． 4．在正方形ABCD中，点E是射线AC上一点，点F是正方形ABCD外角平分线CM上一点，且CF=AE，连接BE，EF. （1）如图1，当E是线段AC的中点时，直接写出BE与EF的数量关系； （2）当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你在图2中补全图形，判断(1)中的结论是否成立，并证明你的结论； （3）当点B，E，F在一条直线上时，求∠CBE的度数.(直接写出结果即可) 5．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．点D是边BC上一点，△BDE是等边三角形，四边形CDEF是平行四边形． （1）如图1，若点D是BC中点，求证：四边形BDFE是菱形； （2）一般的，设DF与CE相交于点G，如图2，连接AD，AC，AF． ①证明：AD＝AF； ②求∠DAG的大小． 6．我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论. （1）（发现与证明） 中， ，将 沿 翻折至 ，连结 . 结论1： 与 重叠部分的图形是等腰三角形； 结论2： . 试证明以上结论. （2）（应用与探究） 在 中，已知 ， ，将 沿 翻折至 ，连结 .若以A、C、D、 为顶点的四边形是正方形，求 的长.（要求画出图形） 7．在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是 BC 边上的中线，点 E 为 AD 的中点，过点 A 作 AF∥BC交 BE 的延长线于点 F，连接 CF． （1）求证：AD＝AF； （2）填空：①当∠ACB＝　 　°时，四边形 ADCF 为正方形； ②连接 DF，当∠ACB＝　 　°时，四边形 ABDF 为菱形． 8．阅读下面材料，再回答问题：有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”，正方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线”． 解决下列问题： （1）菱形的“二分线”可以是　 　． （2）三角形的“二分线”可以是　 　． （3）在下图中，试用两种不同的方法分别画出等腰梯形ABCD的“二分线”. 9．如图，ABCD的顶点A、B、D的坐标分别（0，0）、（5，0）、（1，3），将▱ABCD绕点A逆时针旋转． （1）直接写出点C的坐标　 　； （2）如图1，当线段AB′与线段CD有交点时，求点B′的横坐标m的取值范围； （3）如图2，当点C′在射线AD上时，在直线AD′上求一点P，使得△AC′P为等腰三角形． 10．将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点P在边上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且，点O的对应点落在第一象限．设． （1）如图①，当时，求的大小和点