四川省内江市第六中学2022-2023学年下学期高二（创新班数学试题）入学考试试题

第 1 页，共 4 页 绝密★启用前 内江六中高 2024 届高二（下）创新班入学考试 理科 数学 一、单选题（本大题共 12 小题，共 60 分） 1. 椭圆2𝑥2 + 𝑦2 = 8的长轴长是( ) A. 2 B. 2√2 C. 4 D. 4√2 2. 在复平面内，设𝑧 = 1 + 𝑖(𝑖是虚数单位)，则复数 2 𝑧 + 𝑧2对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知?⃗? = (2,−2,−3)，?⃗? = (2,0,4)，则cos〈?⃗? , ?⃗? 〉 =( ) A. 4√85 85 B. − 4√85 85 C. 0 D. 1 4. 函数𝑓(𝑥) = 1 2 𝑥2 − 𝑙𝑛𝑥的单调递减区间为( ) A. (−1,1) B. (−∞, 1) C. (1, +∞) D. (0,1) 5. “𝑚𝑛 < 0”是方程“𝑚𝑥2 + 𝑛𝑦2 = 1表示双曲线”的( ) A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法 共有 ( ) A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种 7. 如图，在直三棱柱𝐴𝐵𝐶 − 𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐵𝐶 ⊥面𝐴𝐶𝐶1𝐴1， 𝐶𝐴 = 𝐶𝐶1 = 2𝐶𝐵，则直线𝐵𝐶1与直线𝐴𝐵1夹角的余弦值为( ) A. 2√2 5 B. √ 5 3 C. √ 5 5 D. 3 5 8. 已知点𝑃在曲线𝑦 = 𝑥3 − 𝑥 + 2 3 上移动，设点𝑃处切线的倾斜角为𝛼，则𝛼的取值范围是 A. [0, 𝜋 2 ] B. [0, 𝜋 2 ] ∪ (− 𝜋 2 ，0) C. [ 3𝜋 4 , 𝜋] D. [0, 𝜋 2 ) ∪ [ 3𝜋 4 ，𝜋) 9. 已知𝑃是椭圆 𝑥2 25 + 𝑦2 9 = 1上的点，𝐹1、𝐹2分别是椭圆的左、右焦点，若 𝑃𝐹1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⋅𝑃𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ |𝑃𝐹1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|⋅|𝑃𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = 1 2 ， 则△ 𝐹1𝑃𝐹2的面积为( ) A. 3√3 B. 2√3 C. √3 D. √3 3 10. 随机变量𝑋的分布列如表所示，若𝐸(𝑋) = 1 3 ，则𝐷(3𝑋 − 2) =( ) A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 第 2 页，共 4 页 11. 已知𝐴，𝐵为双曲线𝐸的左，右顶点，点𝑀在𝐸上，△ 𝐴𝐵𝑀为等腰三角形，顶角为120°， 则𝐸的离心率为( ) A. √5 B. 2 C. √3 D. √2 12. 若函数𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑒𝑥 − 1 2 (𝑥 < 0)与𝑔(𝑥) = 𝑥2 + ln(𝑥 + 𝑎)图象上存在关于𝑦轴对称 的点，则𝑎的取值范围是( ) A. (−∞,√𝑒) B. (−∞, 1 √𝑒 ) C. (− 1 √𝑒 , √𝑒) D. (−√𝑒, 1 √𝑒 ) 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分） 13. (1 − 𝑥 𝑦 )(𝑥 + 𝑦)6的展开式中𝑥2𝑦4的系数为______(用数字作答)． 14. 抛物线𝑦2 = 2𝑥与过焦点的直线交于𝐴、𝐵两点，𝑂是原点，则𝑂𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⋅ 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 15. 已知函数𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)𝑒𝑥 + 𝑎(𝑥 − 1)2有两个零点，𝑎的取值范围是______． 16. 若双曲线𝑥2 − 𝑦2 3 = 1上存在两个点关于直线𝑙：𝑦 = 𝑘𝑥 + 4(𝑘 > 0)对称，则实数𝑘的 取值范围为______． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17. (本小题10.0分) 某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取男生、女生各 200人，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的 27 40 ，女生中有80人对冰壶运动没有兴趣． 有兴趣 没有兴趣 合计 男 女 80 合计 (1)完成上面2 × 2列联表，并判断是否有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？ (2)按性别用分层抽样的方法从对冰壶运