2021年天津市南开大学数学伯苓班选拔试题

2021年南开大学数学伯苓班选拔考试题 本试卷共七道试题，满分100分，测试时间为9月5日14：30-16:10 1.求证：不存在整数，使得 2.已知为实数,则在实数域内解方程 3.平面直角坐标系中，某以坐标轴为对称轴的椭圆的一个焦点为，离心率为 ，且  构成等比数列. （1）求椭圆的方程. （2）是否存在直线，使得它与椭圆的两个不同交点满足线段被直线平分？如果有，求出直线斜率的取值范围；反之，请说明理由。 4.证明： 5.数列满足： ，且对于，都有 ，求证：对于，。 6.对于某个确定的正整数，求的最大值，其中，且 。 7.已知定义在上的函数满足：对于，有,其中表示不大于的最大整数，求。 2021年南开大学数学伯苓班选拔考试题解答 1.解：注意到对任意整数，我们有，等式两边模5不相等，故不存在整数，使得。 2. 3. 4. 5. 6. 7. 学科网（北京）股份有限公司 $