精品解析：湖南省长沙市弘益高级中学2022-2023学年高三上学期第四次月考数学试题

长沙市弘益高级中学2020级高三第四次月考数学试卷 命题人：高三数学备课组 审题人：陈伟燕 分值：150 时量：120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. “”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知中，，且，则（ ） A B. C. 8 D. 9 5. 已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为 A. B. C. D. 6. 设，用表示不超过的最大整数，则称取整函数，例如：，已知则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线，为的焦点，过焦点且倾斜角为的直线与交于，两点，则下面陈述不正确的为（ ） A. B. C. D. 记原点为，则 8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 九月伊始，佛山市某中学社团招新活动开展得如火如荼，小王、小李、小张三位同学计划从篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为，且每人选择相互独立，则（ ） A. 三人选择社团一样的概率为 B. 三人选择社团各不相同的概率为 C. 至少有两人选择篮球社的概率为 D. 在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为 10. 已知函数（其中，，的部分图象，则下列结论正确的是（ ）． A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调增 D. 函数与的图象的所有交点的横坐标之和为 11. 已知数列前项和为，下列说法正确的是（　　） A. 若，则是等差数列 B. 若，则是等比数列 C. 若是等差数列，则 D. 若是等比数列，则成等比数列 12. 如图四棱锥，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，，点是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 与平面所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 曲线在点处的切线方程为___________________ . 14 若，则______. 15. 已知定义在上的偶函数满足：，且当时，单调递减，给出以下四个命题：；是函数图像的一条对称轴；函数在区间上单调递增；若方程在区间上有两根为，，则以上命题正确的是__________填序号 16. 已知数列的前项和为，且，若存在两项，使得，则的最小值为_____________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若点D在边BC上，，且，求面积最大值． 18. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列． （2）若，求满足条件的最大整数n． 19. 如图，在中，．O为的外心，平面，且． （1）求证： 平面； （2）设平面平面；若点M在线段上运动，且，当直线l与平面所成角取最大值时，求的值 20. 某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐） 甲 30天 20天 40天 10天 乙 20天 25天 15天 40天 假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率． （1）分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率； （2）记X为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望； （3）假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：． 21. 设为椭圆：的右焦点，过点且与轴不重合的直线交椭圆于，两点. （1）当时，求； （2）在轴上是否存在异于定点，使为定值（其中，分别为直线，的斜率）？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 22. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）设函数，若有两个不同的零点，求证：． 第1页